Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.14

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt[3]{x^2}}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{6 - x^{2/3}}{6\sqrt{x}\,(2+x^{2/3})^2},\ x>0

Решение

Степени:

x^{1/2}

x^{2/3}

. Производная частного:

y' = \dfrac{\dfrac{1}{2} x^{-1/2}(2+x^{2/3}) - x^{1/2}\cdot\dfrac{2}{3} x^{-1/3}}{(2+x^{2/3})^2}= \dfrac{x^{-1/2} + \dfrac{1}{2} x^{1/6} - \dfrac{2}{3} x^{1/6}}{(2+x^{2/3})^2}= \dfrac{x^{-1/2} - \dfrac{1}{6} x^{1/6}}{(2+x^{2/3})^2}.

Домножаем числитель и знаменатель на

6x^{1/2}

y' = \dfrac{6 - x^{2/3}}{6\sqrt{x}\,(2+x^{2/3})^2}.

Область существования:

x>0