Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.139

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.139

Вычислить производную функции y=3−sin⁡x2cos⁡2x−2sin⁡x+2arcsin⁡1+sin⁡x2\displaystyle y = \dfrac{3 - \sin x}{2} \sqrt{\cos^2 x - 2 \sin x} + 2 \arcsin \dfrac{1 + \sin x}{\sqrt{2}}.
Ответ:y′=sin⁡2xcos⁡xcos⁡2x−2sin⁡xy' = \dfrac{\sin^2 x \cos x}{\sqrt{\cos^2 x - 2 \sin x}}

Решение

Обозначим A(x)=cos⁡2x−2sin⁡xA(x) = \sqrt{\cos^2 x - 2 \sin x}. Заметим, что подкоренное выражениеcos⁡2x−2sin⁡x=1−sin⁡2x−2sin⁡x=2−(1+sin⁡x)2.\cos^2 x - 2 \sin x = 1 - \sin^2 x - 2 \sin x = 2 - (1 + \sin x)^2.Поэтому A(x)=2−(1+sin⁡x)2A(x) = \sqrt{2 - (1 + \sin x)^2}.
Аргумент арксинуса t(x)=1+sin⁡x2t(x) = \dfrac{1 + \sin x}{\sqrt{2}} удовлетворяет условию ∣t(x)∣≤1|t(x)| \le 1 в точности тогда, когда A(x)A(x) определён (неотрицателен).
Дифференцируем первое слагаемое y1=3−sin⁡x2⋅A(x)y_1 = \dfrac{3 - \sin x}{2} \cdot A(x):y1′=−cos⁡x2⋅A+3−sin⁡x2⋅12A⋅(cos⁡2x−2sin⁡x)′.y_1' = \dfrac{-\cos x}{2} \cdot A + \dfrac{3 - \sin x}{2} \cdot \dfrac{1}{2A} \cdot (\cos^2 x - 2 \sin x)'.Производная подкоренного выражения:(cos⁡2x−2sin⁡x)′=−2cos⁡xsin⁡x−2cos⁡x=−2cos⁡x(sin⁡x+1).(\cos^2 x - 2 \sin x)' = -2\cos x \sin x - 2\cos x = -2\cos x (\sin x + 1).Тогдаy1′=−cos⁡x2A−3−sin⁡x2⋅2cos⁡x(sin⁡x+1)2A=−cos⁡x2A(A2+(3−sin⁡x)(sin⁡x+1)).y_1' = -\dfrac{\cos x}{2}A - \dfrac{3 - \sin x}{2} \cdot \dfrac{2\cos x(\sin x + 1)}{2A}
= -\dfrac{\cos x}{2A}\Bigl( A^2 + (3 - \sin x)(\sin x + 1) \Bigr).Вычислим скобку:A2+(3−sin⁡x)(sin⁡x+1)=\displaystyle A^2 + (3 - \sin x)(\sin x + 1)\mathrel{=}(cos⁡2x−2sin⁡x)+(3sin⁡x+3−sin⁡2x−sin⁡x)=\displaystyle (\cos^2 x - 2\sin x) + (3\sin x + 3 - \sin^2 x - \sin x)\mathrel{=}cos⁡2x−sin⁡2x+3=\displaystyle \cos^2 x - \sin^2 x + 3\mathrel{=}cos⁡2x+3.\displaystyle \cos 2x + 3.Таким образом,y1′=−cos⁡x(3+cos⁡2x)2A.y_1' = -\dfrac{\cos x (3 + \cos 2x)}{2A}.Второе слагаемое y2=2arcsin⁡t(x)y_2 = 2\arcsin t(x):y2′=2⋅11−t2⋅t′=2⋅11−(1+sin⁡x)22⋅cos⁡x2=2cos⁡x/22−(1+sin⁡x)22=2cos⁡x2−(1+sin⁡x)2.y_2' = 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot t' = 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(1+\sin x)^2}{2}}} \cdot \dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}
= \dfrac{2\cos x/\sqrt{2}}{\sqrt{\dfrac{2 - (1+\sin x)^2}{2}}}
= \dfrac{2\cos x}{\sqrt{2 - (1+\sin x)^2}}.Поскольку 2−(1+sin⁡x)2=cos⁡2x−2sin⁡x=A22 - (1 + \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x = A^2, имеем 2−(1+sin⁡x)2=A\sqrt{2 - (1+\sin x)^2} = A. Следовательно,y2′=2cos⁡xA.y_2' = \dfrac{2\cos x}{A}.Складываем y′=y1′+y2′y' = y_1' + y_2':y′=−cos⁡x(3+cos⁡2x)2A+2cos⁡xA=cos⁡xA(2−3+cos⁡2x2)=cos⁡xA⋅4−3−cos⁡2x2=cos⁡xA⋅1−cos⁡2x2.y' = -\dfrac{\cos x (3 + \cos 2x)}{2A} + \dfrac{2\cos x}{A}
= \dfrac{\cos x}{A}\Bigl( 2 - \dfrac{3 + \cos 2x}{2} \Bigr)
= \dfrac{\cos x}{A} \cdot \dfrac{4 - 3 - \cos 2x}{2}
= \dfrac{\cos x}{A} \cdot \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.Так как 1−cos⁡2x2=sin⁡2x\dfrac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x, получаемy′=sin⁡2xcos⁡xcos⁡2x−2sin⁡x.y' = \dfrac{\sin^2 x \cos x}{\sqrt{\cos^2 x - 2 \sin x}}.
Кудрявцев № 13.139 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика