Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.138

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.138

Вычислить производную функции y=5x+2x2+x+1+ln⁡(x−1)2x2+x+13+83arctg⁡2x+13y = \dfrac{5x + 2}{x^2 + x + 1} + \ln \sqrt[3]{\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + x + 1}} + \dfrac{8}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{2x + 1}{\sqrt{3}}.
Ответ:y′=−5x2−4x+3(x2+x+1)2+23(x−1)+11−2x3(x2+x+1)y' = \dfrac{-5x^2 -4x +3}{(x^2+x+1)^2} + \dfrac{2}{3(x-1)} + \dfrac{11 - 2x}{3(x^2+x+1)}

Решение

Упростим логарифм: ln⁡A3=13ln⁡A\ln \sqrt[3]{A} = \dfrac{1}{3} \ln A. Тогдаy=5x+2x2+x+1+13(2ln⁡∣x−1∣−ln⁡(x2+x+1))+83arctg⁡2x+13.y = \dfrac{5x+2}{x^2+x+1} + \dfrac{1}{3} \bigl( 2\ln|x-1| - \ln(x^2+x+1) \bigr) + \dfrac{8}{\sqrt{3}} \arctg \dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}.
Дифференцируем:y′=5(x2+x+1)−(5x+2)(2x+1)(x2+x+1)2+13(2x−1−2x+1x2+x+1)+83⋅11+(2x+13)2⋅23.\begin{aligned}
y' = \dfrac{5(x^2+x+1) - (5x+2)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} + \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \right) \\
&{}+ \dfrac{8}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}.
\end{aligned}
Упростим каждую часть.

Начнём с дроби:5x2+5x+5−(10x2+5x+4x+2)(x2+x+1)2=5x2+5x+5−10x2−9x−2(x2+x+1)2=\dfrac{5x^2+5x+5 - (10x^2+5x+4x+2)}{(x^2+x+1)^2}
= \dfrac{5x^2+5x+5 - 10x^2 - 9x - 2}{(x^2+x+1)^2} ==−5x2−4x+3(x2+x+1)2.= \dfrac{-5x^2 -4x +3}{(x^2+x+1)^2}.Логарифмическая часть:13(2x−1−2x+1x2+x+1)=23(x−1)−2x+13(x2+x+1).\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \right)
= \dfrac{2}{3(x-1)} - \dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)}.Арктангенс:83⋅11+(2x+1)23⋅23=16/33+(2x+1)23=163+4x2+4x+1=\dfrac{8}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1 + \dfrac{(2x+1)^2}{3}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}
= \dfrac{16/3}{\dfrac{3 + (2x+1)^2}{3}}
= \dfrac{16}{3 + 4x^2+4x+1} ==164x2+4x+4=164(x2+x+1)=4x2+x+1.= \dfrac{16}{4x^2+4x+4}
= \dfrac{16}{4(x^2+x+1)} = \dfrac{4}{x^2+x+1}.Собираем все слагаемые:y′=−5x2−4x+3(x2+x+1)2+23(x−1)−2x+13(x2+x+1)+4x2+x+1.y' = \dfrac{-5x^2 -4x +3}{(x^2+x+1)^2} + \dfrac{2}{3(x-1)} - \dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)} + \dfrac{4}{x^2+x+1}.Приведём два последних слагаемых к общему знаменателю 3(x2+x+1)3(x^2+x+1):−2x+13(x2+x+1)+4x2+x+1=−(2x+1)+123(x2+x+1)=11−2x3(x2+x+1).- \dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)} + \dfrac{4}{x^2+x+1}
= \dfrac{-(2x+1) + 12}{3(x^2+x+1)} = \dfrac{11 - 2x}{3(x^2+x+1)}.Окончательно:y′=−5x2−4x+3(x2+x+1)2+23(x−1)+11−2x3(x2+x+1).y' = \dfrac{-5x^2 -4x +3}{(x^2+x+1)^2} + \dfrac{2}{3(x-1)} + \dfrac{11 - 2x}{3(x^2+x+1)}.
Кудрявцев № 13.138 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика