Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.137

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{2x^2 + 4x + 4}{2x^2 + 2x + 1} + 4 \operatorname{arctg} (x + 1) - \operatorname{arctg} (2x + 1)

Ответ:

y' = \dfrac{2x+6}{x^2+2x+2} - \dfrac{4x+3}{2x^2+2x+1}

Решение

y = \ln(2x^2+4x+4) - \ln(2x^2+2x+1) + 4\arctg(x+1) - \arctg(2x+1).

Дифференцируем:

\begin{aligned}y' &= \dfrac{4x+4}{2x^2+4x+4} - \dfrac{4x+2}{2x^2+2x+1} + \dfrac{4}{1+(x+1)^2} - \dfrac{2}{1+(2x+1)^2}.\end{aligned}

Упростим знаменатели арктангенсов:

1+(x+1)^2 = x^2+2x+2,

1+(2x+1)^2 = 4x^2+4x+2 = 2(2x^2+2x+1).

Также

2x^2+4x+4 = 2(x^2+2x+2)

.

Подставляем:

y' = \dfrac{4(x+1)}{2(x^2+2x+2)} - \dfrac{4x+2}{2x^2+2x+1} + \dfrac{4}{x^2+2x+2} - \dfrac{2}{2(2x^2+2x+1)}.

Упростим:

\dfrac{4(x+1)}{2(x^2+2x+2)} = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}, \quad-\dfrac{2}{2(2x^2+2x+1)} = -\dfrac{1}{2x^2+2x+1}.

Сгруппируем:

y' = \left( \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2} + \dfrac{4}{x^2+2x+2} \right)- \left( \dfrac{4x+2}{2x^2+2x+1} + \dfrac{1}{2x^2+2x+1} \right) =

= \dfrac{2x+6}{x^2+2x+2} - \dfrac{4x+3}{2x^2+2x+1}.