Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.136

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.136

Вычислить производную функции y=ln⁡x4+1−2 xx4+1+2 x−arctg⁡2 xx4+1y = \ln \sqrt{ \dfrac{ \sqrt{x^4+1} - \sqrt{2}\, x }{ \sqrt{x^4+1} + \sqrt{2}\, x } } - \operatorname{arctg} \dfrac{ \sqrt{2}\, x }{ \sqrt{x^4+1} }.
Ответ:y′=22x4+1x4−1y' = \dfrac{2\sqrt{2} \sqrt{x^4+1}}{x^4-1}

Решение

Обозначим u=2xx4+1u = \dfrac{\sqrt{2} x}{\sqrt{x^4+1}}. Тогдаx4+1−2xx4+1+2x=1−u1+u,ln⁡1−u1+u=12ln⁡1−u1+u.\dfrac{\sqrt{x^4+1} - \sqrt{2} x}{\sqrt{x^4+1} + \sqrt{2} x} = \dfrac{1-u}{1+u},
\quad \ln \sqrt{\dfrac{1-u}{1+u}} = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1-u}{1+u}.Функция:y=12ln⁡1−u1+u−arctg⁡u.y = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1-u}{1+u} - \arctg u.
Дифференцируем:y′=12(−u′1−u−u′1+u)−u′1+u2=12u′(−21−u2)−u′1+u2=u′(−11−u2−11+u2).y' = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{-u'}{1-u} - \dfrac{u'}{1+u} \right) - \dfrac{u'}{1+u^2}
= \dfrac{1}{2} u' \left( -\dfrac{2}{1-u^2} \right) - \dfrac{u'}{1+u^2}
= u' \left( -\dfrac{1}{1-u^2} - \dfrac{1}{1+u^2} \right).Приводим скобку к общему знаменателю:−11−u2−11+u2=−21−u4.-\dfrac{1}{1-u^2} - \dfrac{1}{1+u^2} = -\dfrac{2}{1-u^4}.Следовательно, y′=−2u′1−u4y' = -\dfrac{2u'}{1-u^4}.
Найдём u′u':u=2x(x4+1)−1/2,u = \sqrt{2} x (x^4+1)^{-1/2},u′=2((x4+1)−1/2−12x(x4+1)−3/2⋅4x3)=2⋅(x4+1)−2x4(x4+1)3/2=2⋅1−x4(x4+1)3/2.u' = \sqrt{2} \left( (x^4+1)^{-1/2} - \dfrac{1}{2} x (x^4+1)^{-3/2} \cdot 4x^3 \right)
= \sqrt{2} \cdot \dfrac{ (x^4+1) - 2x^4 }{ (x^4+1)^{3/2} }
= \sqrt{2} \cdot \dfrac{1 - x^4}{(x^4+1)^{3/2}}.Вычислим u4u^4 и 1−u41-u^4:u4=4x4(x4+1)2,u^4 = \dfrac{4x^4}{(x^4+1)^2},1−u4=1−4x4(x4+1)2=(x4+1)2−4x4(x4+1)2=x8−2x4+1(x4+1)2=(x4−1)2(x4+1)2.1 - u^4 = 1 - \dfrac{4x^4}{(x^4+1)^2}
= \dfrac{(x^4+1)^2 - 4x^4}{(x^4+1)^2}
= \dfrac{x^8 - 2x^4 + 1}{(x^4+1)^2}
= \dfrac{(x^4-1)^2}{(x^4+1)^2}.Подставляем u′u' и 1−u41-u^4 в y′y':y′=−2⋅21−x4(x4+1)3/2(x4−1)2(x4+1)2=−22⋅1−x4(x4+1)3/2⋅(x4+1)2(x4−1)2.y' = -2 \cdot \dfrac{ \sqrt{2} \dfrac{1-x^4}{(x^4+1)^{3/2}} }{ \dfrac{(x^4-1)^2}{(x^4+1)^2} }
= -2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1-x^4}{(x^4+1)^{3/2}} \cdot \dfrac{(x^4+1)^2}{(x^4-1)^2}.Сокращаем степени:(x4+1)2(x4+1)3/2=(x4+1)1/2=x4+1.\dfrac{(x^4+1)^2}{(x^4+1)^{3/2}} = (x^4+1)^{1/2} = \sqrt{x^4+1}.Заметим, что 1−x4=−(x4−1)1-x^4 = -(x^4-1). Поэтому1−x4(x4−1)2=−x4−1(x4−1)2=−1x4−1.\dfrac{1-x^4}{(x^4-1)^2} = -\dfrac{x^4-1}{(x^4-1)^2} = -\dfrac{1}{x^4-1}.Тогдаy′=−22⋅(−1x4−1)⋅x4+1=22x4+1x4−1.y' = -2\sqrt{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^4-1} \right) \cdot \sqrt{x^4+1}
= \dfrac{2\sqrt{2} \sqrt{x^4+1}}{x^4-1}.
Кудрявцев № 13.136 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика