Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.135

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.135

Вычислить производную функции y=ln⁡1−x231+x23+x43+3arctg⁡1+2x233y = \ln \dfrac{1 - \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{1 + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^4}}} + \sqrt{3} \operatorname{arctg} \dfrac{1 + 2 \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{3}}.
Ответ:y′=−2x31−x2=2x3x2−1y' = -\dfrac{2 \sqrt[3]{x}}{1 - x^2} = \dfrac{2 \sqrt[3]{x}}{x^2 - 1}

Решение

Обозначим t=x2/3t = x^{2/3}. Тогда x23=t\sqrt[3]{x^2} = t, x43=t2\sqrt[3]{x^4} = t^2, t′=23x−1/3t' = \dfrac{2}{3}x^{-1/3}.
Функция:y=ln⁡(1−t)−12ln⁡(1+t+t2)+3arctg⁡1+2t3.y = \ln(1-t) - \dfrac{1}{2} \ln(1 + t + t^2) + \sqrt{3} \arctg \dfrac{1+2t}{\sqrt{3}}.
Дифференцируем:y′=−t′1−t−12⋅t′+2tt′1+t+t2+3⋅11+(1+2t3)2⋅2t′3.y' = \dfrac{-t'}{1-t} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t' + 2t t'}{1+t+t^2} + \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{1+2t}{\sqrt{3}} \right)^2} \cdot \dfrac{2t'}{\sqrt{3}}.
Упростим третье слагаемое:11+(1+2t)23=33+(1+2t)2.\dfrac{1}{1 + \dfrac{(1+2t)^2}{3}} = \dfrac{3}{3 + (1+2t)^2}.Знаменатель: 3+1+4t+4t2=4(1+t+t2)3 + 1 + 4t + 4t^2 = 4(1 + t + t^2). Тогда3⋅34(1+t+t2)⋅2t′3=6t′4(1+t+t2)=3t′2(1+t+t2).\sqrt{3} \cdot \dfrac{3}{4(1+t+t^2)} \cdot \dfrac{2t'}{\sqrt{3}}
= \dfrac{6 t'}{4(1+t+t^2)} = \dfrac{3t'}{2(1+t+t^2)}.
Теперьy′=t′[−11−t−1+2t2(1+t+t2)+32(1+t+t2)].y' = t' \left[ -\dfrac{1}{1-t} - \dfrac{1+2t}{2(1+t+t^2)} + \dfrac{3}{2(1+t+t^2)} \right].Сложим две последние дроби:−1+2t2(1+t+t2)+32(1+t+t2)=2−2t2(1+t+t2)=1−t1+t+t2.- \dfrac{1+2t}{2(1+t+t^2)} + \dfrac{3}{2(1+t+t^2)} = \dfrac{2 - 2t}{2(1+t+t^2)} = \dfrac{1-t}{1+t+t^2}.Скобка:−11−t+1−t1+t+t2=−(1+t+t2)+(1−t)2(1−t)(1+t+t2).-\dfrac{1}{1-t} + \dfrac{1-t}{1+t+t^2}
= \dfrac{ - (1+t+t^2) + (1-t)^2 }{(1-t)(1+t+t^2)}.Числитель:−(1+t+t2)+(1−2t+t2)=−1−t−t2+1−2t+t2=−3t.-(1+t+t^2) + (1 - 2t + t^2) = -1 - t - t^2 + 1 - 2t + t^2 = -3t.Таким образом, скобка равна −3t(1−t)(1+t+t2)\dfrac{-3t}{(1-t)(1+t+t^2)}.

Проверка

Следовательно,y′=t′⋅−3t(1−t)(1+t+t2).y' = t' \cdot \dfrac{-3t}{(1-t)(1+t+t^2)}.Подставляем tt и t′t':y′=23x1/3⋅−3x2/3(1−x2/3)(1+x2/3+x4/3)=−2x2/3x1/3(1−x2/3)(1+x2/3+x4/3)=y' = \dfrac{2}{3 x^{1/3}} \cdot \dfrac{-3 x^{2/3}}{(1 - x^{2/3})(1 + x^{2/3} + x^{4/3})}
= -\dfrac{2 x^{2/3}}{x^{1/3} (1 - x^{2/3})(1 + x^{2/3} + x^{4/3})} ==−2x3(1−x2/3)(1+x2/3+x4/3).= -\dfrac{2 \sqrt[3]{x}}{(1 - x^{2/3})(1 + x^{2/3} + x^{4/3})}.Заметим, что (1−x2/3)(1+x2/3+x4/3)=1−(x2/3)3=1−x2(1 - x^{2/3})(1 + x^{2/3} + x^{4/3}) = 1 - (x^{2/3})^3 = 1 - x^2. Тогдаy′=−2x31−x2=2x3x2−1.y' = -\dfrac{2 \sqrt[3]{x}}{1 - x^2} = \dfrac{2 \sqrt[3]{x}}{x^2 - 1}.
Кудрявцев № 13.135 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика