Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.134

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x - \ln \sqrt{1 + e^{2x}} + e^{-x} \operatorname{arcctg} e^x

Ответ:

y' = - e^{-x} \operatorname{arcctg} e^x

Решение

y = x - \dfrac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + e^{-x} \operatorname{arcctg} e^x.

Дифференцируем:

\displaystyle y'\mathrel{=}

Сгруппируем слагаемые без

\operatorname{arcctg}

1 - \dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}} - \dfrac{1}{1+e^{2x}} = 1 - \dfrac{e^{2x}+1}{1+e^{2x}} = 1 - 1 = 0.

Следовательно,

y' = - e^{-x} \operatorname{arcctg} e^x.