Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.133

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.133

Вычислить производную функции y=x+ctg⁡x⋅ln⁡(1+sin⁡x)−ln⁡tg⁡(x/2)y = x + \operatorname{ctg} x \cdot \ln (1 + \sin x) - \ln \operatorname{tg} (x/2).
Ответ:y′=−ln⁡(1+sin⁡x)sin⁡2xy' = - \dfrac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x}

Решение

y′=1+(ctg⁡x)′ln⁡(1+sin⁡x)+ctg⁡x⋅cos⁡x1+sin⁡x−1tg⁡(x/2)⋅1cos⁡2(x/2)⋅12==1−ln⁡(1+sin⁡x)sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x(1+sin⁡x)−1sin⁡x.\begin{aligned}
y' &= 1 + (\ctg x)' \ln(1+\sin x) + \ctg x \cdot \dfrac{\cos x}{1+\sin x} - \dfrac{1}{\tg(x/2)} \cdot \dfrac{1}{\cos^2(x/2)} \cdot \dfrac{1}{2} =\\
&= 1 - \dfrac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin x (1+\sin x)} - \dfrac{1}{\sin x}.
\end{aligned}Приведём к общему знаменателю слагаемые без логарифма:cos⁡2xsin⁡x(1+sin⁡x)−1sin⁡x=cos⁡2x−(1+sin⁡x)sin⁡x(1+sin⁡x)=−sin⁡2x−sin⁡xsin⁡x(1+sin⁡x)=−sin⁡x(sin⁡x+1)sin⁡x(1+sin⁡x)=−1.\dfrac{\cos^2 x}{\sin x (1+\sin x)} - \dfrac{1}{\sin x}
= \dfrac{\cos^2 x - (1+\sin x)}{\sin x (1+\sin x)}
= \dfrac{-\sin^2 x - \sin x}{\sin x (1+\sin x)}
= \dfrac{-\sin x(\sin x + 1)}{\sin x (1+\sin x)} = -1.Тогда 1+(−1)=01 + (-1) = 0, и остаётся только логарифмическое слагаемое:y′=−ln⁡(1+sin⁡x)sin⁡2x.y' = - \dfrac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x}.
Кудрявцев № 13.133 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика