Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.132

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.132

Вычислить производную функции y=xa2−x2+a2arcsin⁡x∣a∣y = x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \dfrac{x}{|a|}.
Ответ:y′=2a2−x2y' = 2\sqrt{a^2 - x^2}

Решение

Будем считать, что a>0a>0, тогда ∣a∣=a|a|=a:y′=a2−x2+x⋅12a2−x2⋅(−2x)+a2⋅11−(x/a)2⋅1a==a2−x2−x2a2−x2+a⋅1a2−x2a.\begin{aligned}
y' &= \sqrt{a^2 - x^2} + x \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) + a^2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - (x/a)^2}} \cdot \dfrac{1}{a} = \\
&= \sqrt{a^2 - x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + a \cdot \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}}.
\end{aligned}Последнее слагаемое: a⋅aa2−x2=a2a2−x2a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}.

Складываем:y′=(a2−x2)−x2+a2a2−x2=2a2−2x2a2−x2=2a2−x2.y' = \dfrac{(a^2 - x^2) - x^2 + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \dfrac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 2\sqrt{a^2 - x^2}.
Кудрявцев № 13.132 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика