Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.131

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{x^2 + a}{\sqrt{x^4 + b^2}} + \dfrac{a}{b} \operatorname{arctg} \dfrac{x^2}{b}

Ответ:

y' = \dfrac{2x}{x^2 + a} + \dfrac{2x(a - x^2)}{x^4 + b^2}

Решение

y = \ln(x^2 + a) - \dfrac{1}{2} \ln(x^4 + b^2) + \dfrac{a}{b} \arctg \dfrac{x^2}{b}.

Дифференцируем:

\begin{aligned}y' &= \dfrac{2x}{x^2 + a} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4x^3}{x^4 + b^2} + \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{1}{1 + (x^2/b)^2} \cdot \dfrac{2x}{b} = \\&= \dfrac{2x}{x^2 + a} - \dfrac{2x^3}{x^4 + b^2} + \dfrac{2a x}{x^4 + b^2}.\end{aligned}

Объединяем два последних слагаемых:

y' = \dfrac{2x}{x^2 + a} + \dfrac{2x(a - x^2)}{x^4 + b^2}.