Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.130

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \operatorname{th} x + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln \dfrac{1 + \sqrt{2} \operatorname{th} x}{1 - \sqrt{2} \operatorname{th} x}

Ответ:

y' = \dfrac{2}{\ch^2 x (1 - \sh^2 x)}

Решение

Пусть

t = \th x

t' = \dfrac{1}{\ch^2 x}

. Тогда

y = t + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \ln \dfrac{1 + \sqrt{2} t}{1 - \sqrt{2} t}.

Дифференцируем:

\begin{aligned}y' &= t' + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left( \dfrac{\sqrt{2}\, t'}{1 + \sqrt{2} t} + \dfrac{\sqrt{2}\, t'}{1 - \sqrt{2} t} \right) = \\&= t' + \dfrac{1}{2} t' \left( \dfrac{1}{1 + \sqrt{2} t} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2} t} \right).\end{aligned}

Вычислим сумму в скобках:

\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} t} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2} t}= \dfrac{1 - \sqrt{2} t + 1 + \sqrt{2} t}{(1 + \sqrt{2} t)(1 - \sqrt{2} t)}= \dfrac{2}{1 - 2t^2}.

Тогда

y' = t' + \dfrac{1}{2} t' \cdot \dfrac{2}{1 - 2t^2}= t' \left( 1 + \dfrac{1}{1 - 2t^2} \right)= t' \cdot \dfrac{1 - 2t^2 + 1}{1 - 2t^2}= t' \cdot \dfrac{2 - 2t^2}{1 - 2t^2}= 2t' \cdot \dfrac{1 - t^2}{1 - 2t^2}.

Подставляем

t'

1 - t^2 = 1 - \th^2 x = \dfrac{1}{\ch^2 x}

y' = 2 \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x} \cdot \dfrac{ \dfrac{1}{\ch^2 x} }{1 - 2\th^2 x}= \dfrac{2}{\ch^4 x (1 - 2\th^2 x)}.

Преобразуем знаменатель:

1 - 2\th^2 x = 1 - 2\dfrac{\sh^2 x}{\ch^2 x}= \dfrac{\ch^2 x - 2\sh^2 x}{\ch^2 x}= \dfrac{(1 + \sh^2 x) - 2\sh^2 x}{\ch^2 x}= \dfrac{1 - \sh^2 x}{\ch^2 x}.

Тогда

\ch^4 x (1 - 2\th^2 x) = \ch^4 x \cdot \dfrac{1 - \sh^2 x}{\ch^2 x}= \ch^2 x (1 - \sh^2 x).

Следовательно,

y' = \dfrac{2}{\ch^2 x (1 - \sh^2 x)}.