Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.13

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + x + 7}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{6x^2+2x-41}{(x^2+x+7)^2},\ \mathbb{R}

Решение

Числитель

u=x^2-5x+6

, знаменатель

v=x^2+x+7

;

u'=2x-5

v'=2x+1

.
Раскрываем для последующей подстановки в формулу производной частного:

\begin{aligned}(2x-5)(x^2+x+7) &= 2x^3-3x^2+9x-35,\\(x^2-5x+6)(2x+1) &= 2x^3-9x^2+7x+6.\end{aligned}

Разность:

6x^2+2x-41

y' = \dfrac{6x^2+2x-41}{(x^2+x+7)^2}.

Область существования:

\mathbb{R}

(поскольку дискриминант знаменателя

1-28<0