Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.129

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = x^2 \sqrt{a^2 + x^4} + a^2 \ln (x^2 + \sqrt{a^2 + x^4})

Ответ:

y' = 4x \sqrt{a^2 + x^4}

Решение

Обозначим

S = \sqrt{a^2 + x^4}

. Тогда

S' = \dfrac{2x^3}{S}

. Функция:

y = x^2 S + a^2 \ln(x^2 + S)

Проверка

\begin{aligned}y' &= (x^2)' S + x^2 S' + a^2 \cdot \dfrac{1}{x^2 + S} \cdot (2x + S') = \\&= 2x S + x^2 \cdot \dfrac{2x^3}{S} + a^2 \cdot \dfrac{2x + \dfrac{2x^3}{S}}{x^2 + S} = \\&= 2x S + \dfrac{2x^5}{S} + a^2 \cdot \dfrac{\dfrac{2x S + 2x^3}{S}}{x^2 + S}.\end{aligned}

Упростим последнее слагаемое:

a^2 \cdot \dfrac{2x(S + x^2)}{S(x^2 + S)} = \dfrac{2x a^2}{S}.

Тогда

y' = 2x S + \dfrac{2x^5}{S} + \dfrac{2x a^2}{S}= 2x S + \dfrac{2x(x^4 + a^2)}{S}.

Поскольку

x^4 + a^2 = S^2

, получаем

\dfrac{2x S^2}{S} = 2x S

. Следовательно,

y' = 2x S + 2x S = 4x S = 4x \sqrt{a^2 + x^4}.