Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.128

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.128

Вычислить производную функции y=ln⁡x2−2xcos⁡α+1+ctg⁡α⋅arctg⁡x−cos⁡αsin⁡αy = \ln \sqrt{x^2 - 2x \cos \alpha + 1} + \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{arctg} \dfrac{x - \cos \alpha}{\sin \alpha}.
Ответ:y′=xx2−2xcos⁡α+1y' = \dfrac{x}{x^2 - 2x\cos\alpha + 1}

Решение

Упростим логарифм: ln⁡A=12ln⁡A\ln\sqrt{A} = \dfrac{1}{2} \ln A.y=12ln⁡(x2−2xcos⁡α+1)+ctg⁡α arctg⁡x−cos⁡αsin⁡α.y = \dfrac{1}{2} \ln(x^2 - 2x\cos\alpha + 1) + \ctg\alpha \, \arctg \dfrac{x - \cos\alpha}{\sin\alpha}.Дифференцируем:y′=12⋅2x−2cos⁡αx2−2xcos⁡α+1+ctg⁡α⋅11+(x−cos⁡αsin⁡α)2⋅1sin⁡α==x−cos⁡αx2−2xcos⁡α+1+cos⁡αsin⁡2α⋅1sin⁡2α+(x−cos⁡α)2sin⁡2α.\begin{aligned}
y' &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x - 2\cos\alpha}{x^2 - 2x\cos\alpha + 1}
+ \ctg\alpha \cdot \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x - \cos\alpha}{\sin\alpha} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{\sin\alpha} =\\
&= \dfrac{x - \cos\alpha}{x^2 - 2x\cos\alpha + 1}
+ \dfrac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{\sin^2\alpha + (x-\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}}.
\end{aligned}Упростим второе слагаемое:cos⁡αsin⁡2α⋅sin⁡2αsin⁡2α+(x−cos⁡α)2=cos⁡αsin⁡2α+(x−cos⁡α)2.\dfrac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha + (x-\cos\alpha)^2}
= \dfrac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha + (x-\cos\alpha)^2}.Раскроем знаменатель:sin⁡2α+(x−cos⁡α)2=sin⁡2α+x2−2xcos⁡α+cos⁡2α=x2−2xcos⁡α+1.\sin^2\alpha + (x-\cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + x^2 - 2x\cos\alpha + \cos^2\alpha = x^2 - 2x\cos\alpha + 1.Таким образом,y′=x−cos⁡αx2−2xcos⁡α+1+cos⁡αx2−2xcos⁡α+1=xx2−2xcos⁡α+1.y' = \dfrac{x - \cos\alpha}{x^2 - 2x\cos\alpha + 1} + \dfrac{\cos\alpha}{x^2 - 2x\cos\alpha + 1}
= \dfrac{x}{x^2 - 2x\cos\alpha + 1}.
Кудрявцев № 13.128 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика