Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.127

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sin \alpha} \ln \dfrac{1 + x}{1 - x} - \operatorname{ctg} \alpha \cdot \ln \dfrac{1 + x \cos \alpha}{1 - x \cos \alpha}

Ответ:

y' = \dfrac{2\sin\alpha}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)}, x \in (-1; 1)

Решение

Дифференцируем:

y' = \dfrac{1}{\sin\alpha} \left( \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1-x} \right)- \ctg\alpha \left( \dfrac{\cos\alpha}{1 + x\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{1 - x\cos\alpha} \right).

Упростим скобки:

\dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1-x} = \dfrac{2}{1-x^2},

\dfrac{\cos\alpha}{1 + x\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{1 - x\cos\alpha}= \cos\alpha \cdot \dfrac{1 - x\cos\alpha + 1 + x\cos\alpha}{(1 + x\cos\alpha)(1 - x\cos\alpha)}= \dfrac{2\cos\alpha}{1 - x^2\cos^2\alpha}.

Тогда

y' = \dfrac{2}{\sin\alpha(1-x^2)} - \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \dfrac{2\cos\alpha}{1 - x^2\cos^2\alpha}= \dfrac{2}{\sin\alpha} \left( \dfrac{1}{1-x^2} - \dfrac{\cos^2\alpha}{1 - x^2\cos^2\alpha} \right).

Приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\begin{aligned}\dfrac{1}{1-x^2} - \dfrac{\cos^2\alpha}{1 - x^2\cos^2\alpha}&= \dfrac{(1 - x^2\cos^2\alpha) - \cos^2\alpha(1-x^2)}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)} =\\&= \dfrac{1 - x^2\cos^2\alpha - \cos^2\alpha + x^2\cos^2\alpha}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)} =\\&= \dfrac{1 - \cos^2\alpha}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)} =\\&= \dfrac{\sin^2\alpha}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)}.\end{aligned}

Подставляем:

y' = \dfrac{2}{\sin\alpha} \cdot \dfrac{\sin^2\alpha}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)}= \dfrac{2\sin\alpha}{(1-x^2)(1 - x^2\cos^2\alpha)}.