Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.126

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.126

Вычислить производную функции y=arcsin⁡sin⁡α⋅sin⁡x1−cos⁡α⋅cos⁡xy = \arcsin \dfrac{\sin \alpha \cdot \sin x}{1 - \cos \alpha \cdot \cos x}.
Ответ:y′=sin⁡α⋅sign⁡(cos⁡x−cos⁡α)1−cos⁡αcos⁡x (при cos⁡x≠cos⁡α; в точках, где  cos⁡x=cos⁡α, производная не существует)y' = \dfrac{\sin\alpha \cdot \operatorname{sign}(\cos x - \cos\alpha)}{1 - \cos\alpha \cos x} \text{ (при } \cos x \neq \cos\alpha\text{; в точках, где } \ \cos x = \cos\alpha\text{, производная не существует)}

Решение

Обозначим u=sin⁡αsin⁡x1−cos⁡αcos⁡xu = \dfrac{\sin\alpha \sin x}{1 - \cos\alpha \cos x}. Тогда y=arcsin⁡uy = \arcsin u, y′=u′1−u2y' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
Сначала вычислим 1−u21 - u^2:1−u2=1−sin⁡2αsin⁡2x(1−cos⁡αcos⁡x)2==(1−cos⁡αcos⁡x)2−sin⁡2αsin⁡2x(1−cos⁡αcos⁡x)2.\begin{aligned}
1 - u^2 &= 1 - \dfrac{\sin^2\alpha \sin^2 x}{(1 - \cos\alpha \cos x)^2} =\\
&= \dfrac{(1 - \cos\alpha \cos x)^2 - \sin^2\alpha \sin^2 x}{(1 - \cos\alpha \cos x)^2}.
\end{aligned}Раскроем числитель, пользуясь sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha:(1−cos⁡αcos⁡x)2−(1−cos⁡2α)sin⁡2x==1−2cos⁡αcos⁡x+cos⁡2αcos⁡2x−sin⁡2x+cos⁡2αsin⁡2x==cos⁡2x−2cos⁡αcos⁡x+cos⁡2α==(cos⁡x−cos⁡α)2.\begin{aligned}
&(1 - \cos\alpha \cos x)^2 - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2 x = \\
&= 1 - 2\cos\alpha\cos x + \cos^2\alpha\cos^2 x - \sin^2 x + \cos^2\alpha\sin^2 x =\\
&= \cos^2 x - 2\cos\alpha\cos x + \cos^2\alpha =\\
&= (\cos x - \cos\alpha)^2.
\end{aligned}Таким образом,1−u2=(cos⁡x−cos⁡α)2(1−cos⁡αcos⁡x)2,1−u2=∣cos⁡x−cos⁡α∣1−cos⁡αcos⁡x.1 - u^2 = \dfrac{(\cos x - \cos\alpha)^2}{(1 - \cos\alpha \cos x)^2},
\qquad \sqrt{1-u^2} = \dfrac{|\cos x - \cos\alpha|}{1 - \cos\alpha \cos x}.
Теперь найдём производную uu:u′=sin⁡αcos⁡x(1−cos⁡αcos⁡x)−sin⁡αsin⁡x(cos⁡αsin⁡x)(1−cos⁡αcos⁡x)2==sin⁡α[cos⁡x−cos⁡αcos⁡2x−cos⁡αsin⁡2x](1−cos⁡αcos⁡x)2==sin⁡α(cos⁡x−cos⁡α)(1−cos⁡αcos⁡x)2.\begin{aligned}
u' &= \dfrac{ \sin\alpha \cos x (1 - \cos\alpha \cos x) - \sin\alpha \sin x (\cos\alpha \sin x) }{(1 - \cos\alpha \cos x)^2} =\\
&= \dfrac{ \sin\alpha \bigl[ \cos x - \cos\alpha \cos^2 x - \cos\alpha \sin^2 x \bigr] }{(1 - \cos\alpha \cos x)^2} =\\
&= \dfrac{ \sin\alpha (\cos x - \cos\alpha) }{(1 - \cos\alpha \cos x)^2}.
\end{aligned}

Проверка

Подставляем в y′y':y′=sin⁡α(cos⁡x−cos⁡α)(1−cos⁡αcos⁡x)2∣cos⁡x−cos⁡α∣1−cos⁡αcos⁡x==sin⁡α(cos⁡x−cos⁡α)(1−cos⁡αcos⁡x)∣cos⁡x−cos⁡α∣.\begin{aligned}
y' &= \dfrac{ \dfrac{\sin\alpha (\cos x - \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha \cos x)^2} }{ \dfrac{|\cos x - \cos\alpha|}{1 - \cos\alpha \cos x} } =\\
&= \dfrac{\sin\alpha (\cos x - \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha \cos x) |\cos x - \cos\alpha|}.
\end{aligned}По определению, cos⁡x−cos⁡α∣cos⁡x−cos⁡α∣=sign⁡(cos⁡x−cos⁡α)\dfrac{\cos x - \cos\alpha}{|\cos x - \cos\alpha|} = \operatorname{sign}(\cos x - \cos\alpha). Следовательно,y′=sin⁡α⋅sign⁡(cos⁡x−cos⁡α)1−cos⁡αcos⁡x.y' = \dfrac{\sin\alpha \cdot \operatorname{sign}(\cos x - \cos\alpha)}{1 - \cos\alpha \cos x}.
Кудрявцев № 13.126 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика