Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.125

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \arctg e^{x/2} - \ln \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x + 1}}

Ответ:

y' = \dfrac{e^{x/2} - 1}{2(1 + e^x)}

Решение

Упростим логарифм:

\ln \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x + 1}} = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{e^x}{e^x + 1} = \dfrac{1}{2} \bigl( x - \ln(e^x + 1) \bigr).

Тогда функция принимает вид:

y = \arctg e^{x/2} - \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \ln(e^x + 1).

Дифференцируем:

y' = \dfrac{1}{1 + e^x} \cdot e^{x/2} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e^x}{e^x + 1}.

Группируем первое и третье слагаемые:

\dfrac{e^{x/2}}{2(1 + e^x)} + \dfrac{e^x}{2(1 + e^x)} = \dfrac{e^{x/2} + e^x}{2(1 + e^x)}.

Тогда

y' = \dfrac{e^{x/2} + e^x}{2(1 + e^x)} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^{x/2} + e^x - (1 + e^x)}{2(1 + e^x)} = \dfrac{e^{x/2} - 1}{2(1 + e^x)}.