Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.124

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{x}{2} + \sqrt{3} \arctg \dfrac{\th \dfrac{x}{2}}{\sqrt{3}}

Ответ:

y' = \dfrac{2 + \ch x}{1 + 2\ch x}

Решение

Первое слагаемое:

(x/2)' = 1/2

.

Второе слагаемое:

\left( \sqrt{3} \arctg \dfrac{\th \dfrac{x}{2}}{\sqrt{3}} \right)' = \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{\th \dfrac{x}{2}}{\sqrt{3}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left( \th \dfrac{x}{2} \right)'.

Производная гиперболического тангенса:

\left(\th \dfrac{x}{2}\right)' = \dfrac{1}{2\ch^2 \dfrac{x}{2}}

.
Упрощаем:

= \dfrac{1}{2\ch^2 \dfrac{x}{2}} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{3 + \th^2 \dfrac{x}{2}}{3}} = \dfrac{3}{2\ch^2 \dfrac{x}{2} (3 + \th^2 \dfrac{x}{2})}.

Преобразуем знаменатель:

\ch^2 \dfrac{x}{2} (3 + \th^2 \dfrac{x}{2}) = 3\ch^2 \dfrac{x}{2} + \sh^2 \dfrac{x}{2}

.
С помощью формул половинного угла:

\ch^2 \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 + \ch x}{2}

\sh^2 \dfrac{x}{2} = \dfrac{\ch x - 1}{2}

. Тогда

3\ch^2 \dfrac{x}{2} + \sh^2 \dfrac{x}{2} = 3\cdot \dfrac{1 + \ch x}{2} + \dfrac{\ch x - 1}{2} = \dfrac{3 + 3\ch x + \ch x - 1}{2} = \dfrac{2 + 4\ch x}{2} = 1 + 2\ch x.

Следовательно, второе слагаемое равно

\dfrac{3}{2(1 + 2\ch x)}

.

Суммируем с первым:

y' = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2(1 + 2\ch x)} = \dfrac{1 + 2\ch x + 3}{2(1 + 2\ch x)} = \dfrac{4 + 2\ch x}{2(1 + 2\ch x)} = \dfrac{2 + \ch x}{1 + 2\ch x}.