Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.123

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.123

Вычислить производную функции y=1b2−a2ln⁡b+acos⁡x+b2−a2sin⁡xa+bcos⁡x\displaystyle y = \dfrac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln \dfrac{b + a \cos x + \sqrt{b^2 - a^2} \sin x}{a + b \cos x} (при b2>a2b^2 > a^2).
Ответ:y′=1a+bcos⁡xy' = \dfrac{1}{a + b \cos x}

Решение

Обозначим c=b2−a2c = \sqrt{b^2 - a^2}. Тогда y=1cln⁡b+acos⁡x+csin⁡xa+bcos⁡xy = \dfrac{1}{c} \ln \dfrac{b + a \cos x + c \sin x}{a + b \cos x}.
Дифференцируем:y′=1c(−asin⁡x+ccos⁡xb+acos⁡x+csin⁡x−−bsin⁡xa+bcos⁡x)=1c(ccos⁡x−asin⁡xb+acos⁡x+csin⁡x+bsin⁡xa+bcos⁡x).y' = \dfrac{1}{c} \left( \dfrac{ -a \sin x + c \cos x }{ b + a \cos x + c \sin x } - \dfrac{ -b \sin x }{ a + b \cos x } \right)
= \dfrac{1}{c} \left( \dfrac{ c \cos x - a \sin x }{ b + a \cos x + c \sin x } + \dfrac{ b \sin x }{ a + b \cos x } \right).Приводим выражение в скобках к общему знаменателю (b+acos⁡x+csin⁡x)(a+bcos⁡x)(b + a \cos x + c \sin x)(a + b \cos x):(ccos⁡x−asin⁡x)(a+bcos⁡x)+bsin⁡x(b+acos⁡x+csin⁡x)(b+acos⁡x+csin⁡x)(a+bcos⁡x).\dfrac{ (c \cos x - a \sin x)(a + b \cos x) + b \sin x (b + a \cos x + c \sin x) }{ (b + a \cos x + c \sin x)(a + b \cos x) }.Раскроем числитель:(ccos⁡x)(a+bcos⁡x)−asin⁡x(a+bcos⁡x)+b2sin⁡x+absin⁡xcos⁡x+bcsin⁡2x=accos⁡x+bccos⁡2x−a2sin⁡x−absin⁡xcos⁡x+b2sin⁡x+absin⁡xcos⁡x+bcsin⁡2x.\begin{aligned}
& (c \cos x)(a + b \cos x) - a \sin x(a + b \cos x) + b^2 \sin x + ab \sin x \cos x + bc \sin^2 x \\
&= ac \cos x + bc \cos^2 x - a^2 \sin x - ab \sin x \cos x + b^2 \sin x + ab \sin x \cos x + bc \sin^2 x.
\end{aligned}Слагаемые −absin⁡xcos⁡x-ab \sin x \cos x и +absin⁡xcos⁡x+ab \sin x \cos x уничтожаются. Группируем оставшиеся:accos⁡x+bc(cos⁡2x+sin⁡2x)+(b2−a2)sin⁡x.ac \cos x + bc(\cos^2 x + \sin^2 x) + (b^2 - a^2) \sin x.Поскольку cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 и b2−a2=c2b^2 - a^2 = c^2, получаемaccos⁡x+bc+c2sin⁡x=c(acos⁡x+b+csin⁡x).ac \cos x + bc + c^2 \sin x = c(a \cos x + b + c \sin x).
Знаменатель равен (b+acos⁡x+csin⁡x)(a+bcos⁡x)(b + a \cos x + c \sin x)(a + b \cos x). Сокращаем общий множитель b+acos⁡x+csin⁡xb + a \cos x + c \sin x:c(acos⁡x+b+csin⁡x)(b+acos⁡x+csin⁡x)(a+bcos⁡x)=ca+bcos⁡x.\dfrac{c(a \cos x + b + c \sin x)}{(b + a \cos x + c \sin x)(a + b \cos x)} = \dfrac{c}{a + b \cos x}.

Проверка

Таким образом, выражение в скобках равно ca+bcos⁡x\dfrac{c}{a + b \cos x}. Подставляем в y′y':y′=1c⋅ca+bcos⁡x=1a+bcos⁡x.y' = \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{c}{a + b \cos x} = \dfrac{1}{a + b \cos x}.
Кудрявцев № 13.123 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика