Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.122

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x}{\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x}

Ответ:

y' = \dfrac{2\sqrt{6} \sin x}{3 - 2\cos^2 x}

Решение

y = \ln(\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x) - \ln(\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x).

Дифференцируем:

y' = \dfrac{\sqrt{2} \sin x}{\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x} - \dfrac{-\sqrt{2} \sin x}{\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x}= \sqrt{2} \sin x \left( \dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x} \right).

Приводим сумму в скобках к общему знаменателю:

\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x + \sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x}{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \cos x)(\sqrt{3} + \sqrt{2} \cos x)} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3 - 2 \cos^2 x}.

Тогда

y' = \sqrt{2} \sin x \cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{3 - 2\cos^2 x} = \dfrac{2\sqrt{6} \sin x}{3 - 2\cos^2 x}.