Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.121

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sin^4 x + 1} + \ln \dfrac{\sin^4 x}{\sin^4 x + 1}

Ответ:

y' = \dfrac{4 \ctg x}{(\sin^4 x + 1)^2}

Решение

Перепишем функцию:

y = (\sin^4 x + 1)^{-1} + \ln(\sin^4 x) - \ln(\sin^4 x + 1).

Дифференцируем:

y' = -(\sin^4 x + 1)^{-2} \cdot 4\sin^3 x \cos x + \dfrac{4\sin^3 x \cos x}{\sin^4 x} - \dfrac{4\sin^3 x \cos x}{\sin^4 x + 1}.

Выносим общий множитель

4\sin^3 x \cos x

y' = 4\sin^3 x \cos x \left( -\dfrac{1}{(\sin^4 x + 1)^2} + \dfrac{1}{\sin^4 x} - \dfrac{1}{\sin^4 x + 1} \right).

Приводим скобку к общему знаменателю

\sin^4 x (\sin^4 x + 1)^2

-\dfrac{1}{(\sin^4 x + 1)^2} + \dfrac{1}{\sin^4 x} - \dfrac{1}{\sin^4 x + 1}= \dfrac{-\sin^4 x + (\sin^4 x + 1)^2 - \sin^4 x (\sin^4 x + 1)}{\sin^4 x (\sin^4 x + 1)^2}.

Раскрываем числитель:

(\sin^4 x + 1)^2 = \sin^8 x + 2\sin^4 x + 1,

-\sin^4 x + \sin^8 x + 2\sin^4 x + 1 - \sin^8 x - \sin^4 x = 1.

Таким образом, скобка равна

\dfrac{1}{\sin^4 x (\sin^4 x + 1)^2}

.
Тогда

y' = 4\sin^3 x \cos x \cdot \dfrac{1}{\sin^4 x (\sin^4 x + 1)^2} = \dfrac{4 \cos x}{\sin x (\sin^4 x + 1)^2}.