Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.120

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.120

Вычислить производную функции y=arccos⁡(sin⁡x4−cos⁡x4)y = \arccos(\sin x^4 - \cos x^4).
Ответ:y′=−4x3cos⁡x4+sin⁡x4sin⁡(2x4)y' = -4x^3 \dfrac{\cos x^4 + \sin x^4}{\sqrt{\sin(2x^4)}}

Решение

Обозначим u=x4u = x^4. Тогда y=arccos⁡(sin⁡u−cos⁡u)y = \arccos(\sin u - \cos u).y′=−11−(sin⁡u−cos⁡u)2⋅(sin⁡u−cos⁡u)′⋅u′.y' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - (\sin u - \cos u)^2}} \cdot (\sin u - \cos u)' \cdot u'.Вычисляем:
(sin⁡u−cos⁡u)′=cos⁡u+sin⁡u(\sin u - \cos u)' = \cos u + \sin u.
(sin⁡u−cos⁡u)2=sin⁡2u+cos⁡2u−2sin⁡ucos⁡u=1−sin⁡2u(\sin u - \cos u)^2 = \sin^2 u + \cos^2 u - 2\sin u \cos u = 1 - \sin 2u. Тогда 1−(sin⁡u−−cos⁡u)2=1−(1−sin⁡2u)=sin⁡2u1 - (\sin u - - \cos u)^2 = 1 - (1 - \sin 2u) = \sin 2u, так что 1−(sin⁡u−cos⁡u)2=sin⁡2u\sqrt{1 - (\sin u - \cos u)^2} = \sqrt{\sin 2u} (область определения подразумевает sin⁡2u≥0\sin 2u \ge 0).
u′=4x3u' = 4x^3.

Подставляем:y′=−1sin⁡2u⋅(cos⁡u+sin⁡u)⋅4x3=−4x3cos⁡x4+sin⁡x4sin⁡(2x4).y' = -\dfrac{1}{\sqrt{\sin 2u}} \cdot (\cos u + \sin u) \cdot 4x^3 = -4x^3 \dfrac{\cos x^4 + \sin x^4}{\sqrt{\sin(2x^4)}}.
Кудрявцев № 13.120 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика