Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.119

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln \tg \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\sin x}{2} \right)

Ответ:

y' = \dfrac{\cos x}{\cos(\sin x)}

Решение

Обозначим

u = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\sin x}{2}

, тогда

y = \ln \tg u

y' = \dfrac{1}{\tg u} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 u} \cdot u' = \dfrac{1}{\sin u \cos u} \cdot u' = \dfrac{2}{\sin 2u} \cdot u'.

Находим

u' = \dfrac{\cos x}{2}

. Тогда

y' = \dfrac{2}{\sin 2u} \cdot \dfrac{\cos x}{2} = \dfrac{\cos x}{\sin 2u}.

Но

2u = \pi/2 + \sin x

, поэтому

\sin 2u = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \sin x\right) = \cos(\sin x)

.
Следовательно,

y' = \dfrac{\cos x}{\cos(\sin x)}