Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.118

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.118

Вычислить производную функции y=ch⁡x2sh⁡2x2−ln⁡cth⁡x22y = \dfrac{\ch x^2}{\sh^2 x^2} - \ln \cth \dfrac{x^2}{2}.
Ответ:y′=−4xsh⁡3x2y' = -\dfrac{4x}{\sh^3 x^2}

Решение

Обозначим t=x2t = x^2, тогда t′=2xt' = 2x. Функция принимает вид
y=ch⁡tsh⁡2t−ln⁡cth⁡t2y = \dfrac{\ch t}{\sh^2 t} - \ln \cth \dfrac{t}{2}.
Дифференцируем по tt и умножаем на t′t'.
(ch⁡tsh⁡2t)′=sh⁡t⋅sh⁡2t−ch⁡t⋅2sh⁡tch⁡tsh⁡4t=sh⁡3t−2sh⁡tch⁡2tsh⁡4t=sh⁡2t−2ch⁡2tsh⁡3t\displaystyle \left( \dfrac{\ch t}{\sh^2 t} \right)' = \dfrac{\sh t \cdot \sh^2 t - \ch t \cdot 2\sh t \ch t}{\sh^4 t} = \dfrac{\sh^3 t - 2\sh t \ch^2 t}{\sh^4 t} = \dfrac{\sh^2 t - 2\ch^2 t}{\sh^3 t}.
С учётом sh⁡2t=ch⁡2t−1\sh^2 t = \ch^2 t - 1 получаем sh⁡2t−2ch⁡2t=−ch⁡2t−1=−(ch⁡2t+1)\sh^2 t - 2\ch^2 t = -\ch^2 t - 1 = -(\ch^2 t + 1).
Итак, (ch⁡tsh⁡2t)′=−ch⁡2t+1sh⁡3t\displaystyle \left( \dfrac{\ch t}{\sh^2 t} \right)' = -\dfrac{\ch^2 t + 1}{\sh^3 t}.
(ln⁡cth⁡t2)′=1cth⁡t2⋅(−1sh⁡2t2)⋅12=−th⁡t22sh⁡2t2=−12sh⁡t2ch⁡t2=−1sh⁡t\displaystyle \left( \ln \cth \dfrac{t}{2} \right)' = \dfrac{1}{\cth \dfrac{t}{2}} \cdot \left( -\dfrac{1}{\sh^2 \dfrac{t}{2}} \right) \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{\th \dfrac{t}{2}}{2\sh^2 \dfrac{t}{2}} = -\dfrac{1}{2\sh \dfrac{t}{2} \ch \dfrac{t}{2}} = -\dfrac{1}{\sh t}.

Тогда производная по tt: yt′=−ch⁡2t+1sh⁡3t−(−1sh⁡t)=−ch⁡2t−1+sh⁡2tsh⁡3t\displaystyle y'_t = -\dfrac{\ch^2 t + 1}{\sh^3 t} - \left( -\dfrac{1}{\sh t} \right) = \dfrac{-\ch^2 t - 1 + \sh^2 t}{\sh^3 t}.
Так как
sh⁡2t−ch⁡2t=−1\sh^2 t - \ch^2 t = -1, числитель равен −1−1=−2-1 - 1 = -2. Следовательно, yt′=−2sh⁡3ty'_t = -\dfrac{2}{\sh^3 t}.

Умножаем на t′=2xt' = 2x и делаем обратную замену: y′=−4xsh⁡3x2y' = -\dfrac{4x}{\sh^3 x^2}.
Кудрявцев № 13.118 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика