Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.117

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{x}{\sqrt{e^{2x} - 1}} - \operatorname{arctg} \sqrt{e^{2x} - 1}

Ответ:

y' = -\dfrac{x e^{2x}}{(e^{2x} - 1)^{3/2}}

Решение

Сначала второе слагаемое:

\left( \operatorname{arctg} \sqrt{e^{2x} - 1} \right)' = \dfrac{1}{1 + (e^{2x} - 1)} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{e^{2x} - 1}} \cdot e^{2x} \cdot 2 = \dfrac{1}{e^{2x}} \cdot \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x} - 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}.

Первое слагаемое:

\dfrac{x}{\sqrt{e^{2x} - 1}} = x (e^{2x} - 1)^{-1/2}

\left( \dfrac{x}{\sqrt{e^{2x} - 1}} \right)' = (e^{2x} - 1)^{-1/2} + x \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)(e^{2x} - 1)^{-3/2} \cdot e^{2x} \cdot 2 = \dfrac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}} - \dfrac{x e^{2x}}{(e^{2x} - 1)^{3/2}}.

Вычитаем второе слагаемое:

y' = \dfrac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}} - \dfrac{x e^{2x}}{(e^{2x} - 1)^{3/2}} - \dfrac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}} = -\dfrac{x e^{2x}}{(e^{2x} - 1)^{3/2}}.