Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.116

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.116

Вычислить производную функции y=ln⁡1−sin⁡x1+sin⁡xy = \ln \sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}.
Ответ:y′=−1cos⁡xy' = -\dfrac{1}{\cos x}

Решение

y=12ln⁡∣1−sin⁡x1+sin⁡x∣=12(ln⁡∣1−sin⁡x∣−ln⁡∣1+sin⁡x∣).y = \dfrac{1}{2} \ln \left| \dfrac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right| = \dfrac{1}{2}\bigl(\ln|1-\sin x| - \ln|1+\sin x|\bigr).Дифференцируем:y′=12(−cos⁡x1−sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡x).y' = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{-\cos x}{1 - \sin x} - \dfrac{\cos x}{1 + \sin x} \right).=12(−cos⁡x⋅1+sin⁡x+1−sin⁡x(1−sin⁡x)(1+sin⁡x))=12(−cos⁡x⋅2cos⁡2x)=−1cos⁡x.= \dfrac{1}{2}\left( -\cos x \cdot \dfrac{1+\sin x + 1 - \sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} \right) = \dfrac{1}{2}\left( -\cos x \cdot \dfrac{2}{\cos^2 x} \right) = -\dfrac{1}{\cos x}.
Кудрявцев № 13.116 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика