Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.114

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln \left( \sqrt{2} \cos x + \sqrt{\cos 2x} \right)

Ответ:

y' = -\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}

Решение

y' = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cos x + \sqrt{\cos 2x}} \cdot \left( -\sqrt{2} \sin x + \dfrac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 \right).

= \dfrac{1}{\sqrt{2} \cos x + \sqrt{\cos 2x}} \cdot \left( -\sqrt{2} \sin x - \dfrac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} \right).

Так как

\sin 2x = 2\sin x \cos x

, получаем в скобках:

-\sin x \left( \sqrt{2} + \dfrac{2\cos x}{\sqrt{\cos 2x}} \right).

Приведём к общему знаменателю:

\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{\cos 2x} + 2\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}

y' = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cos x + \sqrt{\cos 2x}} \cdot \left( -\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{\cos 2x} + 2\cos x}{\sqrt{\cos 2x}} \right).

Заметим, что

\sqrt{2}\sqrt{\cos 2x} + 2\cos x = \sqrt{2}(\sqrt{\cos 2x} + \sqrt{2}\cos x)

.
Сокращаем:

y' = -\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}.