Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.112

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{2}{7} \ln \left( \sqrt{x^7} + \sqrt{1 + x^7} \right)

Ответ:

y' = \dfrac{x^{5/2}}{\sqrt{1+x^7}}

Решение

\sqrt{x^7} = x^{7/2}.

y' = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{x^{7/2} + \sqrt{1+x^7}} \cdot \left( \dfrac{7}{2}x^{5/2} + \dfrac{7x^6}{2\sqrt{1+x^7}} \right).

Выносим

\dfrac{7}{2}

y' = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{x^{7/2} + \sqrt{1+x^7}} \cdot \dfrac{7}{2} \left( x^{5/2} + \dfrac{x^6}{\sqrt{1+x^7}} \right) = \dfrac{x^{5/2} + \dfrac{x^6}{\sqrt{1+x^7}}}{x^{7/2} + \sqrt{1+x^7}}.

Приведём числитель к общему знаменателю

\sqrt{1+x^7}

x^{5/2} + \dfrac{x^6}{\sqrt{1+x^7}} = \dfrac{x^{5/2}\sqrt{1+x^7} + x^6}{\sqrt{1+x^7}} = \dfrac{x^{5/2}\bigl(\sqrt{1+x^7} + x^{7/2}\bigr)}{\sqrt{1+x^7}}.

Подставляем:

y' = \dfrac{\dfrac{x^{5/2}(\sqrt{1+x^7} + x^{7/2})}{\sqrt{1+x^7}}}{x^{7/2} + \sqrt{1+x^7}} = \dfrac{x^{5/2}}{\sqrt{1+x^7}}.