Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.111

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.111

Вычислить производную функции y=x2+1−ln⁡(1x+1+1x2)y = \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left( \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \right).
Ответ:y′=x2+1x (при x>0)y' = \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} \text{ (при } x>0\text{)}

Решение

При x>0x>0:1x+1+1x2=1+x2+1x.\dfrac{1}{x} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{1 + \sqrt{x^2+1}}{x}.Тогда логарифм: ln⁡(1+x2+1)−ln⁡x\ln(1 + \sqrt{x^2+1}) - \ln x.
Функция: y=x2+1−ln⁡(1+x2+1)+ln⁡xy = \sqrt{x^2+1} - \ln(1 + \sqrt{x^2+1}) + \ln x.
Дифференцируем:y′=xx2+1−11+x2+1⋅xx2+1+1x.y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} - \dfrac{1}{1 + \sqrt{x^2+1}} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{1}{x}.Сгруппируем первые два слагаемых:xx2+1(1−11+x2+1)=xx2+1⋅x2+11+x2+1=x1+x2+1.\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\left(1 - \dfrac{1}{1+\sqrt{x^2+1}}\right) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}.Преобразуем: x1+x2+1=x2+1−1x\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{\sqrt{x^2+1} - 1}{x}.
Складываем с 1x\dfrac{1}{x}: x2+1−1x+1x=x2+1x\dfrac{\sqrt{x^2+1} - 1}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}.
Кудрявцев № 13.111 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика