Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.11

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = x^{\sqrt{5}} - x^{-\sqrt{5}}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \sqrt{5}\left(x^{\sqrt{5}-1} + x^{-\sqrt{5}-1}\right),\ x>0

Решение

Показатели иррациональны, поэтому функция определена при

x>0

. Дифференцируем как степенные функции:

y' = \sqrt{5}\,x^{\sqrt{5}-1} - (-\sqrt{5})\,x^{-\sqrt{5}-1} = \sqrt{5}\,x^{\sqrt{5}-1} + \sqrt{5}\,x^{-\sqrt{5}-1} = \sqrt{5}\left(x^{\sqrt{5}-1} + x^{-\sqrt{5}-1}\right).

Область существования производной:

x>0