Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.108

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \operatorname{arctg} \tg^2 x

Ответ:

y' = \dfrac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} = \dfrac{2\sin 2x}{2 - \sin^2 2x}

Решение

y' = \dfrac{1}{1 + \tg^4 x} \cdot (\tg^2 x)' = \dfrac{1}{1 + \tg^4 x} \cdot 2\tg x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}.

Упростим:

\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x},\quad 1 + \tg^4 x = \dfrac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\cos^4 x}.

y' = \dfrac{\cos^4 x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \cdot 2 \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} = \dfrac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x}.

Так как

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x

(чтобы убедиться в справедливости этого тождества необходимо просто расписать единицу как

(\sin^2 x + \cos^2 x)^2

и раскрыть квадрат), можно записать:

y' = \dfrac{\sin 2x}{1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x} = \dfrac{2\sin 2x}{2 - \sin^2 2x}.