Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.107

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.107

Вычислить производную функции y=e1−x1+xy = e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}.
Ответ:y′=−e1−x1+x1−x(1+x)3/2y' = -\dfrac{e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}}{\sqrt{1-x} (1+x)^{3/2}}

Решение

y′=e1−x1+x⋅121−x1+x⋅(1−x1+x)′.y' = e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}} \cdot \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)'.(1−x1+x)′=−1(1+x)−(1−x)⋅1(1+x)2=−2(1+x)2.\left( \dfrac{1-x}{1+x} \right)' = \dfrac{-1(1+x) - (1-x)\cdot 1}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2}.y′=e1−x1+x⋅121−x1+x⋅−2(1+x)2=−e1−x1+x(1+x)21−x1+x.y' = e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}} \cdot \dfrac{-2}{(1+x)^2} = -\dfrac{e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}}{(1+x)^2 \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}.Преобразуем знаменатель: (1+x)21−x1+x=(1+x)21−x1+x=(1+x)3/21−x(1+x)^2 \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} = (1+x)^2 \dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{3/2} \sqrt{1-x}.y′=−e1−x1+x1−x(1+x)3/2.y' = -\dfrac{e^{\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}}{\sqrt{1-x} (1+x)^{3/2}}.
Кудрявцев № 13.107 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика