Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.104

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \dfrac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right)^2 - \dfrac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{\sqrt{3}}

Ответ:

y' = \dfrac{20}{(x^2 - 2)(x^2 + 3)}

Решение

\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \dfrac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right)^2 = \sqrt{2} \ln \left| \dfrac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right|.

Функция определена при

x \neq \pm \sqrt{2}

.
Первое слагаемое:

\left( \sqrt{2} \ln \left| \dfrac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right| \right)' = \sqrt{2} \cdot \dfrac{x + \sqrt{2}}{x - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{(x + \sqrt{2})^2} = \dfrac{4}{x^2 - 2}.

Второе слагаемое:

\left( -\dfrac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{\sqrt{3}} \right)' = -\dfrac{4}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1 + (x/\sqrt{3})^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{4}{3 + x^2}.

Суммируем:

y' = \dfrac{4}{x^2 - 2} - \dfrac{4}{x^2 + 3} = \dfrac{20}{(x^2 - 2)(x^2 + 3)}.