Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.103

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \ln \left( \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right)^2

Ответ:

y' = \dfrac{2}{2 - 3x^2}

Решение

y = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \cdot 2\ln \left| \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \ln \left| \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right|.

Функция определена при

x \neq \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

.
Дифференцируем (производная

\ln|u|

равна

u'/u

y' = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{2} - x\sqrt{3}}{\sqrt{2} + x\sqrt{3}} \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right)'.

Производная дроби:

\left( \dfrac{\sqrt{2} + x\sqrt{3}}{\sqrt{2} - x\sqrt{3}} \right)' = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{2} - x\sqrt{3}) - (\sqrt{2} + x\sqrt{3})(-\sqrt{3})}{(\sqrt{2} - x\sqrt{3})^2} = \dfrac{2\sqrt{6}}{(\sqrt{2} - x\sqrt{3})^2}.

Подставляем:

y' = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{2} - x\sqrt{3}}{\sqrt{2} + x\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{(\sqrt{2} - x\sqrt{3})^2} = \dfrac{2}{(\sqrt{2} + x\sqrt{3})(\sqrt{2} - x\sqrt{3})} = \dfrac{2}{2 - 3x^2}.