Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.102

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \ln \left( \dfrac{x+3}{x+2} \right)^2 - \dfrac{2x+5}{(x+2)(x+3)}

Ответ:

y' = \dfrac{1}{(x+2)^2 (x+3)^2}

Решение

Функция определена при

x \neq -2, -3

.
Упростим логарифм:

\ln \left( \dfrac{x+3}{x+2} \right)^2 = 2\ln \left| \dfrac{x+3}{x+2} \right| = 2\bigl(\ln|x+3| - \ln|x+2|\bigr).

Дробь

\dfrac{2x+5}{(x+2)(x+3)}

разложим на простейшие:

\dfrac{2x+5}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x+3}.

Тогда функция принимает вид

y = 2\ln|x+3| - 2\ln|x+2| - \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x+3}.

Дифференцируем:

y' = \dfrac{2}{x+3} - \dfrac{2}{x+2} + \dfrac{1}{(x+2)^2} + \dfrac{1}{(x+3)^2}.

Приведём первые два слагаемых к общему знаменателю:

\dfrac{2}{x+3} - \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{2(x+2) - 2(x+3)}{(x+2)(x+3)} = -\dfrac{2}{(x+2)(x+3)}.

Таким образом,

y' = -\dfrac{2}{(x+2)(x+3)} + \dfrac{1}{(x+2)^2} + \dfrac{1}{(x+3)^2}.

Приводим всё к общему знаменателю

(x+2)^2 (x+3)^2

y' = \dfrac{-2(x+2)(x+3) + (x+3)^2 + (x+2)^2}{(x+2)^2 (x+3)^2}.

Проверка

Раскроем числитель:

\begin{aligned}-2(x+2)(x+3) &= -2(x^2+5x+6) = -2x^2 -10x -12,\\(x+3)^2 &= x^2+6x+9,\\(x+2)^2 &= x^2+4x+4.\end{aligned}

Суммируем:

(-2x^2 -10x -12) + (x^2+6x+9) + (x^2+4x+4) = (-2x^2+x^2+x^2) + (-10x+6x+4x) + (-12+9+4) = 1.

Следовательно,

y' = \dfrac{1}{(x+2)^2 (x+3)^2}.