Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.101

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

y = \arccos \dfrac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1}

(при

x > 0

Ответ:

y' = -\dfrac{2n x^{n-1}}{1 + x^{2n}} \text{ (при } x > 0\text{)}

Решение

Обозначим

u(x) = \dfrac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1}

. Тогда

y = \arccos u

, и по формуле производной обратной функции

y' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'.

Найдём

u'

. Дифференцируем дробь (

n

считаем постоянным,

x>0

u' = \dfrac{(2n x^{2n-1})(x^{2n}+1) - (x^{2n}-1)(2n x^{2n-1})}{(x^{2n}+1)^2}= \dfrac{2n x^{2n-1}\bigl[(x^{2n}+1) - (x^{2n}-1)\bigr]}{(x^{2n}+1)^2}=

=\dfrac{2n x^{2n-1}\cdot 2}{(x^{2n}+1)^2} = \dfrac{4n x^{2n-1}}{(x^{2n}+1)^2}.

Упростим выражение под корнем

1 - u^2

1 - u^2 = 1 - \left(\dfrac{x^{2n} - 1}{x^{2n} + 1}\right)^{\!2}= \dfrac{(x^{2n}+1)^2 - (x^{2n}-1)^2}{(x^{2n}+1)^2}.

Раскроем числитель:

(x^{2n}+1)^2 - (x^{2n}-1)^2 = \bigl(x^{4n} + 2x^{2n} + 1\bigr) - \bigl(x^{4n} - 2x^{2n} + 1\bigr) = 4x^{2n}.

Следовательно,

1 - u^2 = \dfrac{4x^{2n}}{(x^{2n}+1)^2}.

При

x>0

имеем

x^n > 0

, поэтому

\sqrt{1 - u^2} = \dfrac{2x^n}{x^{2n}+1}

.

Подставляем в производную:

y' = -\dfrac{1}{\dfrac{2x^n}{x^{2n}+1}} \cdot \dfrac{4n x^{2n-1}}{(x^{2n}+1)^2}= -\dfrac{x^{2n}+1}{2x^n} \cdot \dfrac{4n x^{2n-1}}{(x^{2n}+1)^2}.

Сокращаем

x^{2n}+1

x^n

y' = -\dfrac{4n x^{2n-1}}{2x^n (x^{2n}+1)} = -\dfrac{2n x^{n-1}}{x^{2n}+1}.