Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.10

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = x^3 \sqrt[3]{x^2} + x^7 \sqrt[3]{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{11}{3}x^{8/3} + \dfrac{22}{3}x^{19/3},\ \mathbb{R}

Решение

Запишем через степени с рациональными показателями:

\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}

\sqrt[3]{x} = x^{1/3}

. Тогда

y = x^3 \cdot x^{2/3} + x^7 \cdot x^{1/3} = x^{11/3} + x^{22/3}.

Дифференцируем как степенные функции:

y' = \dfrac{11}{3}x^{8/3} + \dfrac{22}{3}x^{19/3}.

Область существования производной — все действительные числа

\mathbb{R}

(показатели

8/3

19/3

имеют нечётный знаменатель, потому степени определены и при

x \le 0