Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.1

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

f'(x_0)

:
1)

f(x)=x^2,\; x_0=0{,}1

;
2)

f(x)=2\sin 3x,\; x_0=\pi/6

;
3)

f(x)=1+\ln 2x,\; x_0=1

;
4)

f(x)=x+\ctg x,\; x_0=\pi/4

Ответ:

1) 0{,}2;

\text{2) } 0;

\text{3) } 1;

\text{4) } -1

Решение

Для

f(x)=x^2

находим производную:

f'(x)=2x

. Подставляем

x_0=0{,}1

f'(0{,}1)=2\cdot 0{,}1=0{,}2

.

Для

f(x)=2\sin 3x

применяем правило дифференцирования сложной функции:

f'(x)=2\cdot\cos 3x\cdot 3=6\cos 3x

. Подставляем

x_0=\pi/6

f'(\pi/6)=6\cos(\pi/2)=6\cdot 0=0

.

Для

f(x)=1+\ln 2x

производная равна

f'(x)=0+\dfrac{1}{2x}\cdot 2=\dfrac{1}{x}

. Подставляем

x_0=1

f'(1)=1

.

Для

f(x)=x+\ctg x

получаем

f'(x)=1-\dfrac{1}{\sin^2 x}

. Вычисляем значение в точке

x_0=\pi/4

f'(\pi/4)=1-\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=1-2=-1.