ДВИ МГУ по математике — 2023, Резерв

Поток 1 Поток 2 Поток 3 Поток 4 Поток 5 Поток 6 Резерв

Задача 1МГУ

Найдите

f\left(\dfrac{2}{27}\right)

, если

f(x)=\sqrt[3]{4 x}-\sqrt{\dfrac{3}{8 x}}

Задача 2МГУ

Дана последовательность

a_1, a_2, a_3, \ldots

действительных чисел. Известно, что

a_1=1

и что для любого индекса

n

справедливо равенство

\left(\dfrac{1}{2^n}-a_{n+1}\right)\left(\dfrac{1}{2^n}+a_n\right)=\dfrac{1}{4^n}

. Найдите сумму

\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\ldots+\dfrac{1}{a_{10}}

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\log _{\frac{1}{3}}(x-1) \leqslant \log _{\frac{1}{9}}(10-2 x)

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\sin \left(\dfrac{\pi \sin x}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi \sqrt{3} \cos x}{2}\right) .

Решение

Воспользуемся формулой привидения:

\cos \left(\dfrac{\pi}{2}- \dfrac{\pi \sin x}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi \sqrt{3} \cos x}{2}\right) ;

\dfrac{\pi}{2}- \dfrac{\pi \sin x}{2} = \pm \dfrac{\pi \sqrt{3} \cos x}{2} + 2\pi k; \quad |:\pi

\dfrac{1}{2}\sin x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \dfrac{1}{2} - 2k;

\sin x \cos \dfrac{\pi}{3} \pm \sin \dfrac{\pi}{3} \cos x = \dfrac{1}{2} - 2k;

\sin \left( x \pm \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}-2k, k \in \mathbb{Z}.

Заметим, что левая часть уравнения принимает значения на отрезке

[-1;1]

, значит, правая часть также принимает значения на отрезке

[-1;1]

. При

k\neq 0

, правая часть по модулю превосходит

1

, значит, равенство возможно только при

k=0

. Получаем:

\sin \left( x \pm \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2};

\left[ \begin{gathered} x \pm \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}+ 2 \pi n; \hfill \\ x \pm \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6}+ 2 \pi n, ~n \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right. \quad \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{2}+ 2 \pi n; \hfill \\ x = -\dfrac{\pi}{6}+ 2 \pi n; \hfill \\ x = \dfrac{7\pi}{6}+ 2 \pi n, ~n \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right.

Окончательный ответ можно представить в виде:

x = - \dfrac{\pi}{6}+ \dfrac{2\pi m}{3}, ~ m \in \mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

Дан остроугольный треугольник

A B C

с углом

\angle A=60^{\circ}

. Известно, что

A B>A C

. Высоты

B E

C F

этого треугольника пересекаются в точке

H

. На отрезке

B H

отмечена точка

K

так, что

B K=C H

. Найдите расстояние от точки

H

до центра описанной около треугольника

A B C

окружности, если известно, что

K H=3

Задача 6МГУ

Положительные числа

a, b, c

удовлетворяют соотношению

(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=10 .

Найдите наибольшее возможное значение выражения

\dfrac{a+b}{c}

Задача 7МГУ

В параллелепипеде

A B C D A_1 B_1 C_1 D_1

(с основанием

A B C D

и боковыми рёбрами

A A_1, B B_1

C C_1, D D_1

) точки

E, F

G-

середины рёбер

B C, C D

D A

соответственно. Найдите отношение, в котором делит объём параллелепипеда плоскость, проходящая через

F

параллельно прямым

A_1 G

D E

Решение

Проведём

FK \parallel DE, ~ K \in BC

, так как

F

--- середина

CD

, то

K

--- середина

CE

. Пусть

CK=EK=x

BE=AG=DG=2x

. Проведём через точку

K

прямую

KM \parallel A_1G

B_1M=x,~MC_1=3x

. Аналогично, через точку

M

проводим

MN \parallel DE

A_1N=3x,~MD_1=x

и через

N

---

NL \parallel MK

DL=D_1L=y

. Таким образом,

FKMNL

--- искомое сечение. Пусть

T

--- пересечение прямых

MK,~СС_1,~LF

, а

P

--- пересечение

LF,~MN, C_1D_1

. Так как пирамида

C_1PMT

и параллелепипед

ABCDA_1B_1C_1D_1

имеют общий трёхгранный угол, то отношение объёмов этих фигур равно:

\dfrac{V_{C_1PMT}}{V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{MC_1}{B_1C_1} \cdot \dfrac{PC_1}{D_1C_1} \cdot \dfrac{TC_1}{CC_1} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{32}.

Значит,

V_{C_1PMT} = \dfrac{9}{32}V

, где

V = V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}

. Заметим, что пирамиды

TCKF

PND_1L

подобны пирамиде

PMTC_1

с коэффициентом

k = \dfrac{1}{3}

, значит:

V_{TCKF} = \dfrac{1}{27}V_{PMTC_1}=V_{PND_1L}.

Получаем, что объём многогранника

C_1D_1NLFKCM

равен:

\dfrac{25}{27}V_{RMTC_1} = \dfrac{25}{27}\cdot \dfrac{9}{32}V=\dfrac{25}{96}V.

Таким образом, плоскость

FKMNL

делит параллелепипед на два многогранника в отношении

25:71

Задача 1МГУ

Найдите

f\left(\dfrac{2}{27}\right)

, если

f(x)=\sqrt[3]{4 x}-\sqrt{\dfrac{3}{8 x}}

Задача 2МГУ

Дана последовательность

a_1, a_2, a_3, \ldots

действительных чисел. Известно, что

a_1=1

и что для любого индекса

n

справедливо равенство

\left(\dfrac{1}{2^n}-a_{n+1}\right)\left(\dfrac{1}{2^n}+a_n\right)=\dfrac{1}{4^n}

. Найдите сумму

\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\ldots+\dfrac{1}{a_{10}}

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\log _{\frac{1}{3}}(x-1) \leqslant \log _{\frac{1}{9}}(10-2 x)

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\sin \left(\dfrac{\pi \sin x}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi \sqrt{3} \cos x}{2}\right) .

Решение

Воспользуемся формулой привидения:

\cos \left(\dfrac{\pi}{2}- \dfrac{\pi \sin x}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi \sqrt{3} \cos x}{2}\right) ;

\dfrac{\pi}{2}- \dfrac{\pi \sin x}{2} = \pm \dfrac{\pi \sqrt{3} \cos x}{2} + 2\pi k; \quad |:\pi

\dfrac{1}{2}\sin x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \dfrac{1}{2} - 2k;

\sin x \cos \dfrac{\pi}{3} \pm \sin \dfrac{\pi}{3} \cos x = \dfrac{1}{2} - 2k;

\sin \left( x \pm \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}-2k, k \in \mathbb{Z}.

Заметим, что левая часть уравнения принимает значения на отрезке

[-1;1]

, значит, правая часть также принимает значения на отрезке

[-1;1]

. При

k\neq 0

, правая часть по модулю превосходит

1

, значит, равенство возможно только при

k=0

. Получаем:

\sin \left( x \pm \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2};

\left[ \begin{gathered} x \pm \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}+ 2 \pi n; \hfill \\ x \pm \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6}+ 2 \pi n, ~n \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right. \quad \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{2}+ 2 \pi n; \hfill \\ x = -\dfrac{\pi}{6}+ 2 \pi n; \hfill \\ x = \dfrac{7\pi}{6}+ 2 \pi n, ~n \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right.

Окончательный ответ можно представить в виде:

x = - \dfrac{\pi}{6}+ \dfrac{2\pi m}{3}, ~ m \in \mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

Дан остроугольный треугольник

A B C

с углом

\angle A=60^{\circ}

. Известно, что

A B>A C

. Высоты

B E

C F

этого треугольника пересекаются в точке

H

. На отрезке

B H

отмечена точка

K

так, что

B K=C H

. Найдите расстояние от точки

H

до центра описанной около треугольника

A B C

окружности, если известно, что

K H=3

Задача 6МГУ

Положительные числа

a, b, c

удовлетворяют соотношению

(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=10 .

Найдите наибольшее возможное значение выражения

\dfrac{a+b}{c}

Задача 7МГУ

В параллелепипеде

A B C D A_1 B_1 C_1 D_1

(с основанием

A B C D

и боковыми рёбрами

A A_1, B B_1

C C_1, D D_1

) точки

E, F

G-

середины рёбер

B C, C D

D A

соответственно. Найдите отношение, в котором делит объём параллелепипеда плоскость, проходящая через

F

параллельно прямым

A_1 G

D E

Решение

Проведём

FK \parallel DE, ~ K \in BC

, так как

F

--- середина

CD

, то

K

--- середина

CE

. Пусть

CK=EK=x

BE=AG=DG=2x

. Проведём через точку

K

прямую

KM \parallel A_1G

B_1M=x,~MC_1=3x

. Аналогично, через точку

M

проводим

MN \parallel DE

A_1N=3x,~MD_1=x

и через

N

---

NL \parallel MK

DL=D_1L=y

. Таким образом,

FKMNL

--- искомое сечение. Пусть

T

--- пересечение прямых

MK,~СС_1,~LF

, а

P

--- пересечение

LF,~MN, C_1D_1

. Так как пирамида

C_1PMT

и параллелепипед

ABCDA_1B_1C_1D_1

имеют общий трёхгранный угол, то отношение объёмов этих фигур равно:

\dfrac{V_{C_1PMT}}{V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{MC_1}{B_1C_1} \cdot \dfrac{PC_1}{D_1C_1} \cdot \dfrac{TC_1}{CC_1} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{32}.

Значит,

V_{C_1PMT} = \dfrac{9}{32}V

, где

V = V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}

. Заметим, что пирамиды

TCKF

PND_1L

подобны пирамиде

PMTC_1

с коэффициентом

k = \dfrac{1}{3}

, значит:

V_{TCKF} = \dfrac{1}{27}V_{PMTC_1}=V_{PND_1L}.

Получаем, что объём многогранника

C_1D_1NLFKCM

равен:

\dfrac{25}{27}V_{RMTC_1} = \dfrac{25}{27}\cdot \dfrac{9}{32}V=\dfrac{25}{96}V.

Таким образом, плоскость

FKMNL

делит параллелепипед на два многогранника в отношении

25:71