Последовательность a1,a2,a3,… получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть a1=2,a2=3,a3=5,a4=6,a5=7,a6=8,a7=10 и т.\,д.). Найдите a2023.
Прямая ℓ касается окружности, описанной около треугольника ABC, в точке A. Известно, что AB>AC и что AC=1. На стороне AB отмечена точка D так, что AD=AC. Прямая, проходящая через точку D и через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, пересекает прямую ℓ в точке E. Найдите длину отрезка AE.
Задача 6МГУ
Положительные числа a,b,c удовлетворяют соотношению a2+b2+c2=1. Найдите наибольшее возможное значение выражения ab+bc3.
Задача 7МГУ
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания равной 1, если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.
