Задача 1МГУ

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением

\dfrac{\frac{\sqrt{64}}{5}+\frac{\sqrt[3]{64}}{3}}{\frac{\sqrt{64}}{5}-\frac{\sqrt[3]{64}}{3}}

.

Задача 2МГУ

Последовательность

a_1, a_2, a_3, \ldots

действительных чисел определяется равенствами

a_1=0, \quad a_n=(1+\sqrt{n})\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\right) . \quad(n \geqslant 2) .

Найдите

a_{2023}

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\left(3 x^2-3 x+1\right)^{x^2-3 x} \leqslant 1

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\cos ^2 x+\sqrt{3} \sin ^2 x=(1+\sqrt{3})(\cos x-\cos x \sin x+\sin x)

Решение

Раскроем скобки следующим образом:

\cos ^2 x+\sqrt{3} \sin ^2 x+(1+\sqrt{3})\cos x \sin x=(1+\sqrt{3})(\cos x+\sin x);

\cos ^2 x+\sqrt{3} \sin ^2 x+\cos x \sin x+\sqrt{3}\cos x \sin x-(1+\sqrt{3})(\cos x+\sin x) =0;

\cos x (\cos x + \sin x ) +\sqrt{3} \sin x (\cos x + \sin x) -(1+\sqrt{3})(\cos x+\sin x) =0;

(\cos x + \sin x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x - (1+\sqrt{3})) =0;

\left[ \begin{gathered} \cos x + \sin x = 0, \\ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 1+\sqrt{3}. \end{gathered} \right.

В первом уравнении совокупности поделим обе части уравнения на

\cos x \neq 0

:

1 + \tg x =0;

\tg x = -1;

x = - \dfrac{\pi}{4} + \pi k, ~ k \in \mathbb{Z}.

Во втором уравнении поделим обе части уравнения на

2

:

\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2};

\cos \dfrac{\pi}{3}\cos x + \sin \dfrac{\pi}{3}\sin x = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2};

\tag{*} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.

Так как

\sqrt{3} > 1

, то

1 + \sqrt{3}> 2

, значит,

\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} > 1

. Таким образом, уравнение не имеет решений.

Задача 5МГУ

В остроугольном треугольнике

A B C

проведены высоты

B D

и

C E

. На

D E

как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает отрезки

A E

и

A D

в точках

F

и

G

cooтветственно. Найдите длину отрезка

F G

, если известно, что

B C=25, B D=20

и

B E=7

.

Решение

Докажем дополнительный факт для решения задачи. Факт. Дан остроугольный треугольник

ABC

,

BB_1

и

CC_1

--- высоты треугольника

ABC

. Тогда

\triangle AB_1C_1 \sim ABC

с коэффициентом подобия

k = \cos \angle A

. Доказательство: Так как

\angle BB_1C= \angle BC_1C = 90^\circ

, значит, вокруг четырёхугольника

BC_1B_1C

можно описать окружность с диаметром

BC

. Тогда

\angle BCB_1 + \angle BC_1B_1 = 180^\circ;

\angle BCB_1 = 180^\circ - \angle BC_1B_1 = \angle AC_1B_1.

Таким образом,

\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC

(по двум углам), при этом,

k = \dfrac{AB_1}{AB} = \dfrac{AC_1}{AC} = \cos \angle A.

Теперь перейдём к решению исходной задачи. Вписанные углы

DGE

и

DFE

являются прямыми, так как опираются на диаметр

DE

. Так как

CE

и

BD

--- высоты в

\triangle ABC

, а

EG

и

DF

--- высоты в

\triangle ADE

, тогда, используя ранее доказанный факт:

DE = BC \cdot \cos A = 25 \cos \angle A;

GF = DE \cdot \cos A = 25\cos^2 \angle A.

По теореме Пифагора в

\triangle BEC

:

CE^2 = \sqrt{BC^2-BE^2}= 24.

По теореме Пифагора в

\triangle BDC

:

CD^2 = \sqrt{BC^2-BD^2}= 15.

По определению косинуса и синуса в треугольниках

BCD

и

BCE

соответственно, находим:

\cos \angle C = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{3}{5};

\sin \angle C = \dfrac{DB}{CB} = \dfrac{4}{5};

\cos \angle B = \dfrac{BE}{BC} = \dfrac{7}{25};

\sin \angle B = \dfrac{EC}{BC} = \dfrac{24}{25}.

Следовательно:

\cos \angle A = \cos (180^\circ - (\angle B + \angle C) ) = -\cos (\angle B + \angle C).

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

\cos \angle A = \sin \angle B \sin \angle C - \cos \angle B \cos \angle C = \dfrac{24}{25} \cdot \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{25} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{75}{125}=\dfrac{3}{5}.

Таким образом:

GF = 25 \cdot \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 = 9.

Задача 6МГУ

Найдите все значения параметра

k

, при которых неравенство

a^3+b^3+c^3+6 \geqslant k(a+b+c)

справедииво для всех действительных

a, b, c

, таких что

a \geqslant-2, b \geqslant-2, c \geqslant-2

.

Решение

Раскроем скобки в правой части неравенства и сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом:

a^3-ka+2+ b^3-kb+2+c^3-kc+2 \geqslant 0.

Введём функцию

f(x) = x^3-kx+2

, тогда неравенство примет вид:

f(a)+f(b)+f(c) \geqslant 0.

Так как неравенство справедливо для всех действительных

a,b,c \geqslant -2

, то возьмём

a=b=c= x_0

, тогда:

3f(x_0) \geqslant 0;

f(x_0) \geqslant 0.

Получаем, что

x^3-kx+2 \geqslant 0

. Таким образом, задачу можно переформулировать следующим образом: При каких значениях параметра

k

, неравенство

x^3-kx+2 \geqslant 0

выполнено для всех

x \geqslant -2

? Введём функции

g_1(x) = x^3+2

и

g_2(x)=kx

. Решим данную задачу графически на координатной плоскости

Oxy

:

Функция

g_2(x)

проходит через точку

(-2, -6)

:

-6 = -2k;

k=3.

Найдём значение

k

, при котором графики функций

g_1(x)

и

g_2(x)

касаются в одной точке

x_0 >0

:

\begin{cases} g_1(x_0) = g_2(x_0), \\ g'_1(x_0) = g'_2(x_0). \end{cases}

\begin{cases} x_0^3+2 = kx_0, \\ 3x_0^2 = k. \end{cases}

Из второго уравнения получаем, что

x_0 = \sqrt{\dfrac{k}{3}}

. Тогда подставим в первое уравнение:

\dfrac{k}{3}\sqrt{\dfrac{k}{3}} + 2 = k \sqrt{\dfrac{k}{3}};

2 = k\sqrt{\dfrac{k}{3}}\left( 1 - \dfrac{1}{3}\right);

k\sqrt{k} = 3\sqrt{3};

k = 3.

Таким образом, исходное неравенство справедливо для всех действительных

a,b,c \geqslant -2

при

k=3

.

Задача 7МГУ

Плоские углы при вершиие правильной четырёхугольнои пирамиды равны

30^{\circ}

. Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, равен 1.

Решение

Пусть

SO =h

--- высота правильной пирамиды

SABCD

Объём пирамиды равен:

V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO = \dfrac{1}{3}S_o \cdot h.

С другой стороны, объём пирамиды связан с радиусом сферы

r

, вписанной в него, формулой:

V = \dfrac{1}{3}S_п\cdot r,

где

S_п

--- площадь полной поверхности пирамиды

SABCD

. Получаем:

\dfrac{1}{3}S_{o}\cdot h = \dfrac{1}{3}S_п\cdot r;

S_п = S_oh.

Пусть

x

--- боковое ребро пирамиды

SABCD

, тогда по теореме косинусов в

\triangle SBC

:

BC^2 = SB^2+SC^2-2\cdot SB\cdot SC \cdot \cos \angle BSC;

BC^2=2x^2-2x^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=x^2(2-\sqrt{3});

BC^2 = x\sqrt{2-\sqrt{3}}.

Так как

AC

--- диагональ квадрата

ABCD

, то

AC = \sqrt{2}BC

. Тогда:

OC = \dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BC = \dfrac{x\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}.

Тогда

h = \sqrt{SC^2- OC^2}= \sqrt{x^2 - \dfrac{x^2(2-\sqrt{3})}{2}}= \dfrac{x\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}.

Кроме того:

S_п = 4S_{SBC} + S_{ABCD} = 4 \cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^2 \cdot \dfrac{1}{2}+x^2(2-\sqrt{3}) = (3-\sqrt{3})x^2.

Таким образом:

(3-\sqrt{3})x^2 = x^2(2-\sqrt{3}) \cdot \dfrac{x\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}};

3-\sqrt{3} =\dfrac{(2-\sqrt{3}) \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}x;

x = \dfrac{(3-\sqrt{3})\sqrt{2} }{(2-\sqrt{3})\sqrt[4]{3}}.

Найдём длину ребра основания

BC

:

BC = \dfrac{(3-\sqrt{3})\sqrt{2} }{(2-\sqrt{3})\sqrt[4]{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}.

Заметим, что

\sqrt{2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}= \sqrt{3}-1;

3-\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1).

Таким образом:

BC = \dfrac{\sqrt{3} (\sqrt{3}-1)^2}{(2-\sqrt{3})\sqrt[4]{3}}=\dfrac{\sqrt{3} (4-2\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt[4]{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}}= 2\sqrt[4]{3}.