Задача 1МГУ

Найдите

f\left(\dfrac{1}{2}\right)

, если

f(x)=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)\left(\sqrt{5 x-1}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)

.

Задача 2МГУ

Найдите четыре числа

a, b, c, d

, если известно, что они образуют возрастающую геометрическую прогрессию, что

a+d=28

и что

b+c=12

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\log _x \log _3\left(2^x-1\right) \geqslant 0

Задача 4МГУ

Решите уравнение

2 \cos 2 x+\frac{\cos x-\cos 3 x}{\cos x+\cos 3 x}=2

Решение

По формулам разности и суммы косинусов получаем:

2 \cos 2x + \dfrac{2\sin 2x \sin x}{2\cos 2x \cos x} =2.

Используя формулу синуса двойного аргумента:

2\cos 2x + \dfrac{2\sin^2 x \cos x}{\cos 2x \cos x} = 2.

Полученное уравнение равносильно следующей системе:

\begin{cases} 2\cos 2x + \dfrac{2 \sin^2x}{\cos 2x} = 2, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}

По формуле понижения степени

2\sin^2 x = 1 - \cos 2x

, получим:

\begin{cases} 2\cos 2x + \dfrac{1-\cos2x}{\cos 2x} = 2, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}

Рассмотрим отдельно первое уравнение системы. Пусть

t = \cos 2x

, тогда:

2t + \dfrac{1-t}{t}=2.

Получаем:

\begin{cases} 2t^2+1-t=2t, \\ t \neq 0. \end{cases}

Решим квадратное уравнение:

2t^2-3t+1=0

\left[ \begin{gathered} t= 1, \\ t= \dfrac{1}{2}. \end{gathered} \right.

Выполним обратную замену:

\left[ \begin{gathered} \cos 2x= 1, \\ \cos 2x= \dfrac{1}{2}. \end{gathered} \right. \quad \left[ \begin{gathered} 2x= 2 \pi k, \\ 2x= \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, ~ k \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right. \quad \left[ \begin{gathered} x= \pi k, \\ x= \pm \dfrac{\pi}{6}+\pi k, ~ k \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right.

Заметим, что полученные корни подходят под ограничения

\cos x \neq 0

и

\cos 2x \neq 0

.

Задача 5МГУ

Четырёхугольник

A B C D

вписан в окружность. На его диагонали

A C

отмечена точка

E

, а на продолжении этой диагонали за точку

C

отмечена точка

F

таким образом, что

\angle A D E=\angle C B F

. Найдите угол

\angle C D F

, если известно, что

\angle A B E=15^{\circ}

.

Задача 6МГУ

Положительные числа

a, b, c

удовлетворяют соотношению

a \sqrt{b c}+b \sqrt{c a}+c \sqrt{a b}=1

Найдите наименьшее возможное значение выражения

a+b+c

.

Задача 7МГУ

Дан куб с ребром 1, нижним основанием

A B C D

и боковыми ребрами

A A_1, B B_1, C C_1, D D_1

. На ребрах

A_1 D_1, B B_1, C C_1, A D

отмечены соответственно точки

K, L, M, N

, так что

A_1 K=K D_1

,

B L: L B_1=7: 1, C M: M C_1=D N: N A=4: 3

. Найдите площадь сечения тетраэдра

K L M N

, параллельного рёбрам

K L

и

M N

, имеющего форму ромба.

Решение

Отметим точки на тетраэдре следующим образом:

PQ \parallel EF \parallel NM

и

PE \parallel QF \parallel KL

, где

P \in NK, ~Q \in KM, ~F \in ML, ~E \in NL, ~

. Плоскость

EFPQ

--- искомое сечение. Пусть

PQ=PE=QF=EF=x

.

\triangle LEF \sim \triangle LNM

(по двум углам):

\angle NLM

--- общий,

\angle LEF = \angle LNM

как соответственные, значит:

\dfrac{EF}{NM} = \dfrac{EL}{NL};

\tag{1} \dfrac{x}{NM} = \dfrac{EL}{NL}.

Аналогично,

\triangle NPE \sim \triangle NKL

, значит:

\dfrac{PE}{KL} = \dfrac{NE}{NL};

\tag{2} \dfrac{x}{KL} = \dfrac{NE}{NL}.

Сложим

и

уравнения системы, тогда:

\dfrac{x}{NM}+\dfrac{x}{KL} = \dfrac{EL+NE}{NL}=\dfrac{NL}{NL}=1;

x \cdot \dfrac{NM+KL}{NM \cdot KL} = 1;

x = \dfrac{NM \cdot KL}{NM+KL}.

Таким образом, площадь искомого сечения равна

S_{EFQP} = x^2\cdot \sin \angle(PE; PQ) = x^2\cdot \sin \angle(KL; MN).

\angle(PE; PQ) = \angle(KL; MN) = \alpha

, так как

PE \parallel KL

и

PQ \parallel MN

. Введём систему координат

Oxyz

, где точка

B

--- начало системы координат,

Ox

вдоль ребра

AB

,

Oy

вдоль

BC

и

Oz

вдоль

BD_1

. Найдём координаты следующих точек:

K \left( \dfrac{1}{2}; 0; 1 \right) \quad M \left(0; 1; \dfrac{4}{7} \right)

L \left( 1; 1; \dfrac{7}{8} \right) \quad N \left( \dfrac{4}{7}; 0; 0 \right)

Вычислим координаты векторов

\overrightarrow{KL}

и

\overrightarrow{NM}

:

\overrightarrow{KL} = \left\{ \dfrac{1}{2}; 1 ; -\dfrac{1}{8} \right\};

\overrightarrow{NM} = \left\{ -\dfrac{4}{7}; 1 ; \dfrac{4}{7} \right\}.

Длина векторов равна:

|\overrightarrow{KL}| = \sqrt{\dfrac{1}{4}+1+ \dfrac{1}{64}} = \dfrac{9}{8};

|\overrightarrow{NM}| = \sqrt{\dfrac{16}{49}+1+ \dfrac{16}{49}} = \dfrac{9}{7}.

Скалярное произведение векторов

\overrightarrow{KL}

и

\overrightarrow{NM}

:

\overrightarrow{KL} \cdot \overrightarrow{NM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( -\dfrac{4}{7} \right) + 1\cdot 1 - \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{7} =\dfrac{9}{14}.

Таким образом, косинус угла

\varphi

между векторами

\overrightarrow{KL}

и

\overrightarrow{NM}

:

\cos \varphi = \dfrac{\overrightarrow{KL} \cdot \overrightarrow{NM} }{|\overrightarrow{KL}| \cdot |\overrightarrow{NM}|} = \dfrac{\frac{9}{14}}{\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{7}} = \dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{56}{81} = \dfrac{4}{9}.

Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos ^2 \varphi} = \sqrt{1 - \dfrac{16}{81}}= \dfrac{\sqrt{65}}{9}.

При этом

\sin \varphi = \sin \alpha

. Найдём

x

:

x = \dfrac{\frac{9}{8}\cdot \frac{9}{7}}{\frac{9}{8}+\frac{9}{7}}= \dfrac{3}{5}.

Таким образом:

S_{EFQP} = \left( \dfrac{3}{5}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt{65}}{9} = \dfrac{\sqrt{65}}{25}.