Найдите четыре числа a,b,c,d, если известно, что они образуют возрастающую геометрическую прогрессию, что a+d=28 и что b+c=12.
Ответ:1,~3,~9,~27
Решение
Пусть q --- знаменатель геометрической прогрессии. Тогда по формуле n-го члена геометрической прогрессии: ⎩⎨⎧b=aq,c=aq2,d=aq3. Получаем: {a+d=28,b+c=12.{a+aq3=28,aq+aq2=12.{a(1+q3)=28,aq(1+q)=12. Разделим первое уравнение системы на второе: q(1+q)(1+q)(1−q+q2)=1228=37;3(1−q+q2)=7q;3−3q+3q2=7q;3q2−10q−3=0;D=102−4⋅3⋅3=100−36=64=82;q1=610+8=3,q2=610−8=31. По условию геометрическая прогрессия является возрастающей, то q>1, поэтому q=3. Получаем: a+a⋅33=28;28a=28;a=1. Таким образом: ⎩⎨⎧b=aq=1⋅3=3,c=aq2=1⋅32=9,d=aq3=1⋅33=27.
Задача 3МГУ
Решите неравенство logxlog3(2x−1)⩾0
Ответ:[2;+∞)
Решение
Найдём область допустимых значений (ОДЗ): ⎩⎨⎧x>0,x=1,log3(2x−1)>0,2x−1>0.⎩⎨⎧x>0,x=1,2x−1>1,2x>1.⎩⎨⎧x>0,x=1,x>1,x>0.x>1. Последовательно воспользуемся методом рационализации: (x−1)(log3(2x−1)−1)⩾0;(x−1)(3−1)(2x−1−3)⩾0;(x−1)(2x−22)⩾0;(x−1)(x−2)⩾0. Решим полученное неравенство методом интервалов: С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ.
Задача 4МГУ
Решите уравнение 2cos2x+cosx+cos3xcosx−cos3x=2
Ответ:πk;±6π+πk,k∈Z
Решение
По формулам разности и суммы косинусов получаем: 2cos2x+2cos2xcosx2sin2xsinx=2. Используя формулу синуса двойного аргумента: 2cos2x+cos2xcosx2sin2xcosx=2. Полученное уравнение равносильно следующей системе: ⎩⎨⎧2cos2x+cos2x2sin2x=2,cosx=0. По формуле понижения степени 2sin2x=1−cos2x, получим: ⎩⎨⎧2cos2x+cos2x1−cos2x=2,cosx=0. Рассмотрим отдельно первое уравнение системы. Пусть t=cos2x, тогда: 2t+t1−t=2. Получаем: {2t2+1−t=2t,t=0. Решим квадратное уравнение: 2t2−3t+1=0t=1,t=21. Выполним обратную замену: cos2x=1,cos2x=21.2x=2πk,2x=±3π+2πk,k∈Z.x=πk,x=±6π+πk,k∈Z. Заметим, что полученные корни подходят под ограничения cosx=0 и cos2x=0.
Задача 5МГУ
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. На его диагонали AC отмечена точка E, а на продолжении этой диагонали за точку C отмечена точка F таким образом, что ∠ADE=∠CBF. Найдите угол ∠CDF, если известно, что ∠ABE=15∘.
Ответ:15^\circ
Решение
Проведём диагональ BD. Пусть ∠ADE=∠CBF=α,∠EDB=β и ∠EBD=γ. Вписанные углы ∠ADB и ∠ACB равны, так как опираются на одну и ту же дугу AB, то есть: ∠ACB=∠ADB=α+β. Но ∠ACB --- внешний угол △BCF, значит: ∠ACB=∠CBF+∠CFB;∠CFB=∠ACB−∠CBF=β. Получаем, что углы EFB и EDB равны и опираются на сторону BE, поэтому вокруг EDFB можно описать окружность. Следовательно, ∠EFD=∠EBD как вписанные углы, опирающиеся на дугу ED.∠ABD=∠ACD=γ+15∘ как вписанные углы, опирающиеся на дугу AD. Получаем, что ∠ACD --- внешний угол △DCF, значит: ∠CDF=∠ACD−∠CFD=15∘.
Задача 6МГУ
Положительные числа a,b,c удовлетворяют соотношению abc+bca+cab=1 Найдите наименьшее возможное значение выражения a+b+c.
Ответ:1
Решение
Так как числа a,b,c>0, то abc+bca+cab=abca+abcb+abcc. Используем неравенство Коши-Буняковского-Шварца: x1y1+x2y2+x3y3⩽x12+x22+x32⋅y12+y22+y32, где x1=x2=x3=abc,y1=a,y2=b,y3=c. Тогда abca+abcb+abcc⩽3abc⋅a+b+c. Получаем, что 3abc⋅a+b+c⩾1;3abc(a+b+c)⩾1;a+b+c⩾3abc1. Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: 3a+b+c⩾3abc;27(a+b+c)3⩾abc. Таким образом: a+b+c⩾3abc1⩾3(a+b+c)327;(a+b+c)4⩾9;a+b+c⩾3. Наименьшее значение выражения a+b+c=1 достигается при a=b=c=33.
Задача 7МГУ
Дан куб с ребром 1, нижним основанием ABCD и боковыми ребрами AA1,BB1,CC1,DD1. На ребрах A1D1,BB1,CC1,AD отмечены соответственно точки K,L,M,N, так что A1K=KD1,BL:LB1=7:1,CM:MC1=DN:NA=4:3. Найдите площадь сечения тетраэдра KLMN, параллельного рёбрам KL и MN, имеющего форму ромба.
Ответ:2565
Решение
Отметим точки на тетраэдре следующим образом: PQ∥EF∥NM и PE∥QF∥KL, где P∈NK,Q∈KM,F∈ML,E∈NL,. Плоскость EFPQ --- искомое сечение. Пусть PQ=PE=QF=EF=x.△LEF∼△LNM (по двум углам): ∠NLM --- общий, ∠LEF=∠LNM как соответственные, значит: NMEF=NLEL;NMx=NLEL.(1) Аналогично, △NPE∼△NKL, значит: KLPE=NLNE;KLx=NLNE.(2) Сложим и уравнения системы, тогда: NMx+KLx=NLEL+NE=NLNL=1;x⋅NM⋅KLNM+KL=1;x=NM+KLNM⋅KL. Таким образом, площадь искомого сечения равна SEFQP=x2⋅sin∠(PE;PQ)=x2⋅sin∠(KL;MN).∠(PE;PQ)=∠(KL;MN)=α, так как PE∥KL и PQ∥MN. Введём систему координат Oxyz, где точка B --- начало системы координат, Ox вдоль ребра AB,Oy вдоль BC и Oz вдоль BD1. Найдём координаты следующих точек: K(21;0;1)M(0;1;74)L(1;1;87)N(74;0;0) Вычислим координаты векторов KL и NM:KL={21;1;−81};NM={−74;1;74}. Длина векторов равна: ∣KL∣=41+1+641=89;∣NM∣=4916+1+4916=79. Скалярное произведение векторов KL и NM:KL⋅NM=21⋅(−74)+1⋅1−81⋅74=149. Таким образом, косинус угла φ между векторами KL и NM:cosφ=∣KL∣⋅∣NM∣KL⋅NM=89⋅79149=149⋅8156=94. Тогда по основному тригонометрическому тождеству: sinφ=1−cos2φ=1−8116=965. При этом sinφ=sinα. Найдём x:x=89+7989⋅79=53. Таким образом: SEFQP=(53)2⋅965=2565.
С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ.
Получаем, что 
