Сравним расстояния до 3.2155−3=2155−63=218=8432.2895−3=2895−84=2811=8433.8432<8433, поэтому первое число ближе к 3.
Задача 2МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых разность между корнями уравнения ,x2+5ax+a4=0, максимальна.
Ответ:a=±225
Решение
Пусть x1,x2 — корни. По теореме Виета x1+x2=−5a,x1x2=a4. Квадрат разности корней: (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=25a2−4a4. Обозначим f(a)=25a2−4a4. Тогда f′(a)=50a−16a3=2a(25−8a2). Производная обращается в нуль при a=0 и при a2=825, то есть a=±225. В точке a=0 корни совпадают, а в точках a=±225 достигается максимум f, при этом 25a2−4a4>0, корни различны. Стало быть, разность корней максимальна при a=±225.
Заметим, что 5+2=(5−2)−1, причём 5+2>1,5−2<1. Следовательно, (5+2)log5−2x≥(5−2)logx(5+2)⟺⟺−log5+2x≥−logx(5+2)⟺log5+2x≤log5+2x1⟺⟺log5+2xlog5+22x−1≤0⟺[log5+2x≤−10<log5+2x≤1⟺[0<x≤5−21<x≤5+2
Задача 5МГУ
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина отрезка AD, а N — произвольная точка отрезка BC. Пусть K — пересечение отрезков CM и DN, а L — пересечение отрезков MN и AC. Найдите все возможные значения площади треугольника DMK, если известно, что AD:BC=4:3, а площадь треугольника ABL равна 3.
Ответ:2
Решение
Введём координаты: A=(0,0),D=(t,0),B=(p,h),C=(p+s,h), где t=AD,s=BC,h>0 — высота трапеции. M=(2t,0) — серединаAD,N=(p+λs,h),λ∈[0,1].L=MN∩AC:ACAL=2s(1−λ)+tt,SABL=2(2s(1−λ)+t)hst.K=CM∩DN:CMMK=2s(1−λ)+tt,SDMK=4(2s(1−λ)+t)ht2.SABLSDMK=2st=2BCAD( не зависит от положения N).BCAD=34⇒SABLSDMK=64=32.SDMK=32SABL=32⋅3=2.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых система {ax2+2ax+8y+3a−36≥0,ay2−8ay+8x+18a+4≥0 имеет ровно одно решение.
Ответ:a=-2
Решение
Сложим оба неравенства; их сумма должна быть ≥0. При a=−2 сумма левых частей равна −2x2−4x+8y−6−36−2y2+16y+8x−36+4=−2x2−2y2+4x+24y−74. Вынесем множитель: −2(x2−2x+y2−12y+37)=−2((x−1)2+(y−6)2). Эта величина неположительна, поэтому неравенство ≥0 выполнимо лишь при x=1,y=6, и тогда сумма равна нулю, а каждое из двух неравенств обращается в равенство. Проверка: при x=1,y=6:−2−4+48−6−36=0 и −72+96+8−36+4=0. Оба ≥0 выполнены. Стало быть, при a=−2 система имеет ровно одно решение (1,6), и это единственное подходящее значение параметра.
Задача 7МГУ
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ с боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. На рёбрах AB,BC,CD,DA нижнего основания отмечены соответственно точки K,L,M,N, таким образом, что AK:KB=5:4,BL:LC=CM:MD=2:1,DN:NA=5:1. Пусть P,Q,R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′,BLKB′,CMLC′, соответственно. Найдите QR, если известно, что PQ=1 и AB:BC=3:2.
Ответ:32
Решение
Точка P равноудалена от точек A,A′, поэтому лежит в плоскости π, проходящей через середины боковых рёбер. Аналогично точки Q,R лежат в этой же плоскости π. Ортогональные проекции P′,Q′,R′ точек P,Q,R на (ABC) — центры окружностей, описанных около треугольников AKN,BLK,CML. Эти треугольники прямоугольные (прямые углы при A,B,C), поэтому P′,Q′,R′ — середины отрезков KN,LK,ML. Значит PQ=P′Q′=21NL,QR=Q′R′=21MK. Пусть M′ — проекция M на AB,N′ — проекция N на BC. Тогда AM′=DM=31AB,M′K=AK−AM′=(95−93)AB=92AB,MM′=BC,BN′=AN=61BC,N′L=BL−BN′=(32−61)BC=21BC,NN′=AB.M′KMM′=92ABBC=3,N′LNN′=21BCAB=3, поэтому прямоугольные треугольники M′MK и N′NL подобны, откуда QRPQ=MKNL=MM′NN′=BCAB=23. Так как PQ=1, получаем QR=32.
Задача 8МГУ
Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,2π), при которых достигается минимум выражения (5sin(x+y)6siny+1)(3siny5sinx+1)2(76sinxsin(x+y)+1)4.
Ответ:x=arccos65,y=arccos61
Решение
Положим A=5sin(x+y)6siny,B=3siny5sinx,C=76sinxsin(x+y). Эти величины при x,y∈(0,2π) положительны, и ABC=211. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим A+1⩾2A,B+1=B+31+31+31⩾4427B,C+1=C+71+⋯+71⩾8877C. Отсюда (A+1)(B+1)2(C+1)4⩾3237272⋅42⋅84ABC=3274217, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A=1,B=31,C=71, что равносильно системе {siny=5sinx,sin(x+y)=6sinx. Учитывая ограничение x,y∈(0,2π), из второго равенства имеем sinxcosy+5sinxcosx=6sinx⟺cosy+5cosx=6. Из siny=5sinx следует cos2y=1−5sin2x=5cos2x−4, откуда cosy−5cosx=−64. Совместно с cosy+5cosx=6 получаем cosx=65,cosy=61. Минимум выражения равен 3274217.
Введём координаты: 
Точка