Сравним расстояния до 2.3249−2=3249−64=3215=9645.2459−2=2459−48=2411=9644.9644<9645, поэтому второе число ближе к 2.
Задача 2МГУ
Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения ,x2+px+3p4=0, максимальна.
Ответ:p=±261
Решение
Пусть x1,x2 — корни. По теореме Виета x1+x2=−p,x1x2=3p4. Квадрат разности корней: (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=p2−12p4. Обозначим f(p)=p2−12p4. Тогда f′(p)=2p−48p3=2p(1−24p2). Производная обращается в нуль при p=0 и при p2=241, то есть p=±261. В точке p=0 корни совпадают, а в точках p=±261 достигается максимум f, при этом p2−12p4>0, корни различны. Стало быть, разность корней максимальна при p=±261.
Заметим, что 2+3=(2−3)−1, причём 2+3>1,2−3<1. Следовательно, (2+3)log2−3x≥(2−3)logx(2+3)⟺⟺−log2+3x≥−logx(2+3)⟺log2+3x≤log2+3x1⟺⟺log2+3xlog2+32x−1≤0⟺[log2+3x≤−10<log2+3x≤1⟺[0<x≤2−31<x≤2+3
Задача 5МГУ
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина отрезка AD, а N — произвольная точка отрезка BC. Пусть K — пересечение отрезков CM и DN, а L — пересечение отрезков MN и AC. Найдите все возможные значения площади треугольника ABL, если известно, что AD:BC=5:2, а площадь треугольника DMK равна 5.
Ответ:4
Решение
Введём координаты: A=(0,0),D=(t,0),B=(p,h),C=(p+s,h), где t=AD,s=BC,h>0 — высота трапеции. M=(2t,0) — серединаAD,N=(p+λs,h),λ∈[0,1].L=MN∩AC:ACAL=2s(1−λ)+tt,SABL=2(2s(1−λ)+t)hst.K=CM∩DN:CMMK=2s(1−λ)+tt,SDMK=4(2s(1−λ)+t)ht2.SABLSDMK=2st=2BCAD( не зависит от положения N).BCAD=25⇒SABLSDMK=45.SABL=54SDMK=54⋅5=4.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра p, при которых система {px2+6px−12y+11p+18≤0,py2−2py−12x+3p−30≤0 имеет ровно одно решение.
Ответ:p=3
Решение
Сложим оба неравенства; их сумма должна быть ≤0. При p=3 сумма левых частей равна 3x2+18x−12y+33+18+3y2−6y−12x+9−30=3x2+3y2+6x−18y+30. Выделим полные квадраты: 3(x2+2x+y2−6y+10)=3((x+1)2+(y−3)2). Эта величина неотрицательна, поэтому неравенство ≤0 выполнимо лишь при x=−1,y=3, и тогда сумма равна нулю, а каждое из двух неравенств обращается в равенство. Проверка: при x=−1,y=3:3−18−36+33+18=0 и 27−18+12+9−30=0. Оба ≤0 выполнены. Стало быть, при p=3 система имеет ровно одно решение (−1,3), и это единственное подходящее значение параметра.
Задача 7МГУ
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ с боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. На рёбрах AB,BC,CD,DA нижнего основания отмечены соответственно точки K,L,M,N, таким образом, что AK:KB=7:9,BL:LC=2:1,CM:MD=3:1,DN:NA=2:1. Пусть P,Q,R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′,BLKB′,CMLC′, соответственно. Найдите PQ, если известно, что QR=1 и AB:BC=4:3.
Ответ:34
Решение
Точка P равноудалена от точек A,A′, поэтому лежит в плоскости π, проходящей через середины боковых рёбер. Аналогично точки Q,R лежат в этой же плоскости π. Ортогональные проекции P′,Q′,R′ точек P,Q,R на (ABC) — центры окружностей, описанных около треугольников AKN,BLK,CML. Эти треугольники прямоугольные (прямые углы при A,B,C), поэтому P′,Q′,R′ — середины отрезков KN,LK,ML. Значит PQ=P′Q′=21NL,QR=Q′R′=21MK. Пусть M′ — проекция M на AB,N′ — проекция N на BC. Тогда AM′=DM=41AB,M′K=AK−AM′=(167−164)AB=163AB,MM′=BC,BN′=AN=31BC,N′L=BL−BN′=(32−31)BC=31BC,NN′=AB.M′KMM′=163ABBC=4,N′LNN′=31BCAB=4, поэтому прямоугольные треугольники M′MK и N′NL подобны, откуда QRPQ=MKNL=MM′NN′=BCAB=34. Так как QR=1, получаем PQ=34.
Задача 8МГУ
Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,2π), при которых достигается минимум выражения (2sin(x+y)5cosy+1)(3cosy2cosx+1)2(75cosxsin(x+y)+1)4.
Ответ:x=arcsin52,y=arcsin51
Решение
Положим A=2sin(x+y)5cosy,B=3cosy2cosx,C=75cosxsin(x+y). Эти величины при x,y∈(0,2π) положительны, и ABC=211. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим A+1⩾2A,B+1=B+31+31+31⩾4427B,C+1=C+71+⋯+71⩾8877C. Отсюда (A+1)(B+1)2(C+1)4⩾3237272⋅42⋅84ABC=3274217, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A=1,B=31,C=71, что равносильно системе {cosy=2cosx,sin(x+y)=5cosx. Раскрывая синус суммы и учитывая первое равенство, получаем sinxcosy+cosxsiny=5cosx⟺2sinxcosx+cosxsiny=5cosx⟺2sinx+siny=5. Из cosy=2cosx следует sin2y=1−4cos2x=4sin2x−3, так что siny и sinx связаны соотношением sin2y=4sin2x−3. Совместно с 2sinx+siny=5 при x,y∈(0,2π) получаем sinx=52,siny=51. Минимум выражения равен 3274217.
Введём координаты: 
Точка