Сравним расстояния до 2.3653−2=3653−72=3619=10857.2768−2=2768−54=2714=10856.10856<10857, поэтому второе число ближе к 2.
Задача 2МГУ
Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения ,x2+px+5p4=0, максимальна.
Ответ:p=±2101
Решение
Пусть x1,x2 — корни. По теореме Виета x1+x2=−p,x1x2=5p4. Квадрат разности корней: (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=p2−20p4. Обозначим f(p)=p2−20p4. Тогда f′(p)=2p−80p3=2p(1−40p2). Производная обращается в нуль при p=0 и при p2=401, то есть p=±2101. В точке p=0 корни совпадают, а в точках p=±2101 достигается максимум f, при этом p2−20p4>0, корни различны. Стало быть, разность корней максимальна при p=±2101.
Заметим, что 6+5=(6−5)−1, причём 6+5>1,6−5<1. Следовательно, (6+5)log6−5x≥(6−5)logx(6+5)⟺⟺−log6+5x≥−logx(6+5)⟺log6+5x≤log6+5x1⟺⟺log6+5xlog6+52x−1≤0⟺[log6+5x≤−10<log6+5x≤1⟺[0<x≤6−51<x≤6+5
Задача 5МГУ
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина отрезка AD, а N — произвольная точка отрезка BC. Пусть K — пересечение отрезков CM и DN, а L — пересечение отрезков MN и AC. Найдите все возможные значения площади треугольника ABL, если известно, что AD:BC=4:5, а площадь треугольника DMK равна 2.
Ответ:5
Решение
Введём координаты: A=(0,0),D=(t,0),B=(p,h),C=(p+s,h), где t=AD,s=BC,h>0 — высота трапеции. M=(2t,0) — серединаAD,N=(p+λs,h),λ∈[0,1].L=MN∩AC:ACAL=2s(1−λ)+tt,SABL=2(2s(1−λ)+t)hst.K=CM∩DN:CMMK=2s(1−λ)+tt,SDMK=4(2s(1−λ)+t)ht2.SABLSDMK=2st=2BCAD( не зависит от положения N).BCAD=54⇒SABLSDMK=104=52.SABL=25SDMK=25⋅2=5.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра p, при которых система {px2+8px+12y+18p−30≥0,py2−4py+12x+6p+42≥0 имеет ровно одно решение.
Ответ:p=-3
Решение
Сложим оба неравенства; их сумма должна быть ≥0. При p=−3 сумма левых частей равна −3x2−24x+12y−54−30−3y2+12y+12x−18+42=−3x2−3y2−12x+24y−60. Вынесем множитель: −3(x2+4x+y2−8y+20)=−3((x+2)2+(y−4)2). Эта величина неположительна, поэтому неравенство ≥0 выполнимо лишь при x=−2,y=4, и тогда сумма равна нулю, а каждое из двух неравенств обращается в равенство. Проверка: при x=−2,y=4:−12+48+48−54−30=0 и −48+24−24−18+42=0. Оба ≥0 выполнены. Стало быть, при p=−3 система имеет ровно одно решение (−2,4), и это единственное подходящее значение параметра.
Задача 7МГУ
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ с боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. На рёбрах AB,BC,CD,DA нижнего основания отмечены соответственно точки K,L,M,N, таким образом, что AK:KB=9:7,BL:LC=7:5,CM:MD=5:3,DN:NA=3:1. Пусть P,Q,R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′,BLKB′,CMLC′, соответственно. Найдите QR, если известно, что PQ=1 и AB:BC=4:3.
Ответ:43
Решение
Точка P равноудалена от точек A,A′, поэтому лежит в плоскости π, проходящей через середины боковых рёбер. Аналогично точки Q,R лежат в этой же плоскости π. Ортогональные проекции P′,Q′,R′ точек P,Q,R на (ABC) — центры окружностей, описанных около треугольников AKN,BLK,CML. Эти треугольники прямоугольные (прямые углы при A,B,C), поэтому P′,Q′,R′ — середины отрезков KN,LK,ML. Значит PQ=P′Q′=21NL,QR=Q′R′=21MK. Пусть M′ — проекция M на AB,N′ — проекция N на BC. Тогда AM′=DM=83AB,M′K=AK−AM′=(169−166)AB=163AB,MM′=BC,BN′=AN=41BC,N′L=BL−BN′=(127−123)BC=31BC,NN′=AB.M′KMM′=163ABBC=4,N′LNN′=31BCAB=4, поэтому прямоугольные треугольники M′MK и N′NL подобны, откуда QRPQ=MKNL=MM′NN′=BCAB=34. Так как PQ=1, получаем QR=43.
Задача 8МГУ
Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,2π), при которых достигается минимум выражения (6sin(x+y)7cosy+1)(3cosy6cosx+1)2(77cosxsin(x+y)+1)4.
Ответ:x=arcsin76,y=arcsin71
Решение
Положим A=6sin(x+y)7cosy,B=3cosy6cosx,C=77cosxsin(x+y). Эти величины при x,y∈(0,2π) положительны, и ABC=211. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим A+1⩾2A,B+1=B+31+31+31⩾4427B,C+1=C+71+⋯+71⩾8877C. Отсюда (A+1)(B+1)2(C+1)4⩾3237272⋅42⋅84ABC=3274217, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A=1,B=31,C=71, что равносильно системе {cosy=6cosx,sin(x+y)=7cosx. Раскрывая синус суммы и учитывая первое равенство, получаем sinxcosy+cosxsiny=7cosx⟺6sinxcosx+cosxsiny=7cosx⟺6sinx+siny=7. Из cosy=6cosx следует sin2y=1−6cos2x=6sin2x−5, то есть sin2y=6sin2x−5. Совместно с 6sinx+siny=7 при x,y∈(0,2π) получаем sinx=76,siny=71. Минимум выражения равен 3274217.
Введём координаты: 
Точка