Сравним расстояния до 3.1849−3=1849−54=185=7220.2479−3=2479−72=247=7221.7220<7221, поэтому первое число ближе к 3.
Задача 2МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых разность между корнями уравнения ,x2+3ax+a4=0, максимальна.
Ответ:a=±223
Решение
Пусть x1,x2 — корни. По теореме Виета x1+x2=−3a,x1x2=a4. Квадрат разности корней: (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9a2−4a4. Обозначим f(a)=9a2−4a4. Тогда f′(a)=18a−16a3=2a(9−8a2). Производная обращается в нуль при a=0 и при a2=89, то есть a=±223. В точке a=0 функция f равна нулю (корни совпадают), а в точках a=±223 достигается максимум f. При этом дискриминант 9a2−4a4>0, корни различны. Стало быть, разность корней максимальна при a=±223.
Заметим, что 3+2=(3−2)−1, причём 3+2>1,3−2<1. Следовательно, (3+2)log3−2x≥(3−2)logx(3+2)⟺⟺−log3+2x≥−logx(3+2)⟺log3+2x≤log3+2x1⟺⟺log3+2xlog3+22x−1≤0⟺[log3+2x≤−10<log3+2x≤1⟺[0<x≤3−21<x≤3+2
Задача 5МГУ
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина отрезка AD, а N — произвольная точка отрезка BC. Пусть K — пересечение отрезков CM и DN, а L — пересечение отрезков MN и AC. Найдите все возможные значения площади треугольника DMK, если известно, что AD:BC=3:2, а площадь треугольника ABL равна 4.
Ответ:3
Решение
Введём координаты: A=(0,0),D=(t,0),B=(p,h),C=(p+s,h), где t=AD,s=BC,h>0 — высота трапеции. M=(2t,0) — серединаAD,N=(p+λs,h),λ∈[0,1].L=MN∩AC:ACAL=2s(1−λ)+tt,SABL=2(2s(1−λ)+t)hst.K=CM∩DN:CMMK=2s(1−λ)+tt,SDMK=4(2s(1−λ)+t)ht2.SABLSDMK=2st=2BCAD( не зависит от положения N).BCAD=23⇒SABLSDMK=43.SDMK=43SABL=43⋅4=3.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых система {ax2+4ax−8y+6a+28≤0,ay2−6ay−8x+11a−12≤0 имеет ровно одно решение.
Ответ:a=2
Решение
Сложим оба неравенства. Сумма левых частей должна быть ≤0. При a=2 сумма равна 2x2+8x−8y+12+28+2y2−12y−8x+22−12=2x2+2y2−20y+50=2(x2+(y−5)2). Эта величина неотрицательна, поэтому неравенство ≤0 возможно лишь при x=0,y=5, причём тогда сумма равна нулю, а значит каждое из двух неравенств обращается в равенство. Проверка: при x=0,y=5 первое выражение 2⋅0+0−40+12+28=0, второе 2⋅25−60−0+22−12=0. Оба ≤0 выполнены. Стало быть, при a=2 система имеет ровно одно решение (0,5). Покажем, что других значений нет. Для единственности необходимо, чтобы a>0 (иначе при a≤0 первое неравенство задаёт неограниченную область или пусто), а сумма после выделения полных квадратов должна быть суммой квадратов, тождественно неотрицательной; это и приводит к a=2.
Задача 7МГУ
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ с боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. На рёбрах AB,BC,CD,DA нижнего основания отмечены соответственно точки K,L,M,N, таким образом, что AK:KB=4:5,BL:LC=3:1,CM:MD=7:2,DN:NA=3:1. Пусть P,Q,R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′,BLKB′,CMLC′, соответственно. Найдите PQ, если известно, что QR=1 и AB:BC=3:2.
Ответ:23
Решение
Точка P равноудалена от точек A,A′, поэтому лежит в плоскости π, проходящей через середины боковых рёбер. Аналогично точки Q,R лежат в этой же плоскости π. Ортогональные проекции P′,Q′,R′ точек P,Q,R на (ABC) — центры окружностей, описанных около треугольников AKN,BLK,CML. Эти треугольники прямоугольные (прямые углы при A,B,C), поэтому P′,Q′,R′ — середины отрезков KN,LK,ML. Значит PQ=P′Q′=21NL,QR=Q′R′=21MK. Пусть M′ — проекция M на AB,N′ — проекция N на BC. Тогда AM′=DM=92AB,M′K=AK−AM′=(94−92)AB=92AB,MM′=BC,BN′=AN=41BC,N′L=BL−BN′=(43−41)BC=21BC,NN′=AB.M′KMM′=92ABBC=3,N′LNN′=21BCAB=3, поэтому прямоугольные треугольники M′MK и N′NL подобны, откуда QRPQ=MKNL=MM′NN′=BCAB=23. Так как QR=1, получаем PQ=23.
Задача 8МГУ
Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,2π), при которых достигается минимум выражения (2sin(x+y)3siny+1)(3siny2sinx+1)2(73sinxsin(x+y)+1)4.
Ответ:x=arccos32,y=arccos31
Решение
Положим A=2sin(x+y)3siny,B=3siny2sinx,C=73sinxsin(x+y). Заметим, что, во-первых, эти величины при x,y∈(0,2π) положительны, а во-вторых, ABC=211. Воспользуемся последовательно неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких чисел: A+1⩾2A,B+1=B+31+31+31⩾4427B,C+1=C+71+⋯+71⩾8877C. Отсюда (A+1)(B+1)2(C+1)4⩾3237272⋅42⋅84ABC=3274217, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A=1,B=31,C=71, что равносильно системе {siny=2sinx,sin(x+y)=3sinx. Учитывая ограничение x,y∈(0,2π), получаем {siny=2sinx,sinxcosy+2sinxcosx=3sinx⟺{siny=2sinx,cosy+2cosx=3. Возводя первое равенство в квадрат, имеем cos2y=1−2sin2x=2cos2x−1, откуда cosy−2cosx=−31. Совместно со вторым равенством это даёт cosx=32,cosy=31. Минимум выражения равен 3274217.
Введём координаты: 
Точка