ДВИ МГУ по математике — 2018, Поток 1

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4
Задача 1МГУ
Какое из чисел 4918\dfrac{49}{18} и 7924\dfrac{79}{24} ближе к 3?
Задача 2МГУ
Найдите все значения параметра a,a, при которых разность между корнями уравнения ,x2+3ax+a4=0,,x^2+3ax+a^4=0, максимальна.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡4xcos⁡10x=sin⁡xcos⁡7x.\sin 4x\cos 10x = \sin x\cos 7x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство (3+2)log⁡3−2x≥(3−2)log⁡x(3+2).\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}x}\geq\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{\log_{x}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}.
Задача 5МГУ
Дана трапеция ABCDABCD с основаниями ADAD и BCBC. Пусть MM — середина отрезка ADAD, а NN — произвольная точка отрезка BCBC. Пусть KK — пересечение отрезков CMCM и DNDN, а LL — пересечение отрезков MNMN и ACAC. Найдите все возможные значения площади треугольника DMKDMK, если известно, что AD:BC=3:2AD:BC=3:2, а площадь треугольника ABLABL равна 4.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a,a, при которых система {ax2+4ax−8y+6a+28≤0,ay2−6ay−8x+11a−12≤0\begin{cases} ax^2+4ax-8y+6a+28\le 0, \\ ay^2-6ay-8x+11a-12\le 0 \end{cases} имеет ровно одно решение.
Задача 7МГУ
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' с боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′, DD′AA',\ BB',\ CC',\ DD'. На рёбрах AB, BC, CD, DAAB,\ BC,\ CD,\ DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, NK,\ L,\ M,\ N, таким образом, что AK:KB=4:5, BL:LC=3:1, CM:MD=7:2, DN:NA=3:1AK:KB=4:5,\ BL:LC=3:1,\ CM:MD=7:2,\ DN:NA=3:1. Пусть P, Q, RP,\ Q,\ R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′, BLKB′, CMLC′AKNA',\ BLKB',\ CMLC', соответственно. Найдите PQPQ, если известно, что QR=1QR=1 и AB:BC=3:2AB:BC=3:2.
Задача 8МГУ
Найдите все пары чисел x,yx,y из промежутка (0,π2)\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), при которых достигается минимум выражения (3sin⁡y2sin⁡(x+y)+1)(2sin⁡x3sin⁡y+1)2(sin⁡(x+y)73sin⁡x+1)4.\left(\dfrac{\sqrt{3}\sin y}{\sqrt{2}\sin(x+y)}+1\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{3\sin y}+1\right)^{2}\left(\dfrac{\sin(x+y)}{7\sqrt{3}\sin x}+1\right)^{4}.