Неравенства: Решите неравенство 6|x - 2| - 2|x + 6|⩾ 1. — задача
Условие, ответ и разбор задачи
НеравенстваЕГКР 14.12.2023
Решите неравенство∣x−2∣6−∣x+6∣2⩾1.
Решение
Знаменатели не равны нулю, поэтому
$$ \left\{ \begin{array}{l} x\neq 2,\\[1mm] x\neq -6. \end{array} \right.$$
При таких $x$ модули в знаменателях положительны. Умножим обе части неравенства на $|x-2|\cdot|x+6|>0,$ знак неравенства не изменится:
\[ 6|x+6|-2|x-2|\geqslant|x-2|\cdot|x+6|. \]
Точки $-6$ и $2$ разбивают числовую прямую на три промежутка, на каждом из которых модули раскрываются по-своему. На каждом промежутке расставим знаки выражений под модулями.
1) При $x>2$ имеем:
$$|x-2|=x-2, \quad |x+6|=x+6.$$
Отсюда
\[ 6(x+6)-2(x-2)\geqslant(x-2)(x+6); \]
\[ 6x+36-2x+4\geqslant x^2+4x-12; \]
\[ x^2\leqslant 52. \]
Так как $52=\left(\sqrt{4\cdot 13}\right)^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2,$ то
по формуле разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$) получаем
\[ \left(x-2\sqrt{13}\right)\left(x+2\sqrt{13}\right)\leqslant 0, \]
то есть
\[ -2\sqrt{13}\leqslant x\leqslant 2\sqrt{13}. \]
Учтём условие $x>2:$
\[ x\in\left(2;2\sqrt{13}\,\right]. \]
2) При $-6<x<2$ имеем:
$$|x-2|=-(x-2)=2-x, \quad |x+6|=x+6.$$
Отсюда
\[ 6(x+6)-2(2-x)\geqslant(2-x)(x+6); \]
\[ 6x+36-4+2x\geqslant -x^2-4x+12; \]
\[ x^2+12x+20\geqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2+12x+20$ на множители. Корни будут $x_1=-10, x_2=-2.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=-12,\\ x_1\cdot x_2=20, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $20$ на два множителя. Сумму $-12$ даёт пара $-10$ и $-2.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -10+(-2)=-12,\\ (-10)\cdot(-2)=20. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-10,\\ x_2=-2. \end{array} \right. \]) Значит,
\[ (x+10)(x+2)\geqslant 0, \]
то есть
\[ \left[ \begin{array}{l} x \leqslant -10,\\ x\geqslant -2. \end{array} \right. \]
Учтём условие $-6<x<2:$
\[ x\in[-2;2). \]
3) При $x<-6$ имеем:
$$|x-2|= -(x-2) = 2-x, \quad |x+6|=-(x+6) = -6-x,$$
Отсюда
\[ -6(x+6)-2(2-x)\geqslant (2-x)(-6-x); \]
\[ -6(x+6)-2(2-x)\geqslant(x-2)(x+6); \]
\[ -6x-36-4+2x\geqslant x^2+4x-12; \]
\[ x^2+8x+28\leqslant 0. \]
Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $x^2+8x+28:$
\[ D=8^2-4\cdot 1\cdot 28=64-112=-48<0. \]
Старший коэффициент $1>0,$ то есть ветви параболы направлены вверх, значит, $x^2+8x+28>0$ при всех $x,$ и в этом случае решений нет.
Объединяем решения первых двух случаев:
\[ x\in[-2;2)\cup\left(2;2\sqrt{13}\,\right]. \]
Ответ: $[-2;2)\cup\left(2;2\sqrt{13}\,\right].$
$$ \left\{ \begin{array}{l} x\neq 2,\\[1mm] x\neq -6. \end{array} \right.$$
При таких $x$ модули в знаменателях положительны. Умножим обе части неравенства на $|x-2|\cdot|x+6|>0,$ знак неравенства не изменится:
\[ 6|x+6|-2|x-2|\geqslant|x-2|\cdot|x+6|. \]
Точки $-6$ и $2$ разбивают числовую прямую на три промежутка, на каждом из которых модули раскрываются по-своему. На каждом промежутке расставим знаки выражений под модулями.
1) При $x>2$ имеем:
$$|x-2|=x-2, \quad |x+6|=x+6.$$
Отсюда
\[ 6(x+6)-2(x-2)\geqslant(x-2)(x+6); \]
\[ 6x+36-2x+4\geqslant x^2+4x-12; \]
\[ x^2\leqslant 52. \]
Так как $52=\left(\sqrt{4\cdot 13}\right)^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2,$ то
по формуле разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$) получаем
\[ \left(x-2\sqrt{13}\right)\left(x+2\sqrt{13}\right)\leqslant 0, \]
то есть
\[ -2\sqrt{13}\leqslant x\leqslant 2\sqrt{13}. \]
Учтём условие $x>2:$
\[ x\in\left(2;2\sqrt{13}\,\right]. \]
2) При $-6<x<2$ имеем:
$$|x-2|=-(x-2)=2-x, \quad |x+6|=x+6.$$
Отсюда
\[ 6(x+6)-2(2-x)\geqslant(2-x)(x+6); \]
\[ 6x+36-4+2x\geqslant -x^2-4x+12; \]
\[ x^2+12x+20\geqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2+12x+20$ на множители. Корни будут $x_1=-10, x_2=-2.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=-12,\\ x_1\cdot x_2=20, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $20$ на два множителя. Сумму $-12$ даёт пара $-10$ и $-2.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -10+(-2)=-12,\\ (-10)\cdot(-2)=20. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-10,\\ x_2=-2. \end{array} \right. \]) Значит,
\[ (x+10)(x+2)\geqslant 0, \]
то есть
\[ \left[ \begin{array}{l} x \leqslant -10,\\ x\geqslant -2. \end{array} \right. \]
Учтём условие $-6<x<2:$
\[ x\in[-2;2). \]
3) При $x<-6$ имеем:
$$|x-2|= -(x-2) = 2-x, \quad |x+6|=-(x+6) = -6-x,$$
Отсюда
\[ -6(x+6)-2(2-x)\geqslant (2-x)(-6-x); \]
\[ -6(x+6)-2(2-x)\geqslant(x-2)(x+6); \]
\[ -6x-36-4+2x\geqslant x^2+4x-12; \]
\[ x^2+8x+28\leqslant 0. \]
Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $x^2+8x+28:$
\[ D=8^2-4\cdot 1\cdot 28=64-112=-48<0. \]
Старший коэффициент $1>0,$ то есть ветви параболы направлены вверх, значит, $x^2+8x+28>0$ при всех $x,$ и в этом случае решений нет.
Объединяем решения первых двух случаев:
\[ x\in[-2;2)\cup\left(2;2\sqrt{13}\,\right]. \]
Ответ: $[-2;2)\cup\left(2;2\sqrt{13}\,\right].$