а) Решите уравнение… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Преподаватель

УравненияЕГЭ 2026 (резерв)

а) Решите уравнение

1+\log_{5}{(5x^2+20)}=\log_{\sqrt5}{\sqrt{5x^4+30}}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-3,2;2,6\right]

Решение

а) Используя свойства логарифма, упростим уравнение:

\log_{5}5+\log_{5}{(5x^2+20)}=\log_{5}{(5x^4+30)};

\log_{5}{\left(5(5x^2+20)\right)}=\log_{5}{(5x^4+30)}.

Это уравнение равносильно системе:

\begin{cases} 5(5x^2+20) = 5x^4 + 30, \\ 5x^4 + 30 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} 25x^2+100 = 5x^4 + 30, \\ x \in \mathbb{R}; \end{cases} \quad \begin{cases} 5x^4 - 25x^2 - 70 = 0, \\ x \in \mathbb{R}. \end{cases}

Рассмотрим уравнение

5x^4 - 25x^2 - 70 = 0\ | :5; \qquad x^4 - 5x^2 - 14 = 0.

Пусть

t = x^2

, тогда уравнение примет вид

t^2 - 5t - 14 = 0.

D = 25 + 56 = 81;

t_1 = \dfrac{5 + 9}{2} = 7; \quad t_2 = \dfrac{5 - 9}{2} = -2.

Выполним обратную замену:

\left [\begin{gathered} x^2 = 7, \ \\ x^2 = -2 < 0; \ \end{gathered}\right. \quad x = \pm \sqrt{7}.

б) Заметим, что

2 < \sqrt{7} < 3

.
Тогда справедливо неравенство:

-3,2 < -\sqrt{7} < -2.

То есть корень

-\sqrt{7}

принадлежит указанному отрезку.
Рассмотрим

x = \sqrt{7}

\sqrt{7} \ \vee \ 2,6; \quad \quad 7 \ \vee \ 6,76.

Получаем, что

\sqrt{7} > 2,6

, значит,

\sqrt{7} \not \in \left[-3,2;2,6\right]

.

Ответ: а)

\pm \sqrt{7}

; \ б)

-\sqrt{7}