а) Решите уравнение1+log5(5x2+20)=log55x4+30.б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3,2;2,6].
Решение
а) Используя свойства логарифма, упростим уравнение:log55+log5(5x2+20)=log5(5x4+30);log5(5(5x2+20))=log5(5x4+30).Это уравнение равносильно системе:{5(5x2+20)=5x4+30,5x4+30>0;{25x2+100=5x4+30,x∈R;{5x4−25x2−70=0,x∈R.Рассмотрим уравнение5x4−25x2−70=0∣:5;x4−5x2−14=0.Пусть t=x2, тогда уравнение примет видt2−5t−14=0.D=25+56=81;t1=25+9=7;t2=25−9=−2.Выполним обратную замену:[x2=7,x2=−2<0;x=±7.б) Заметим, что 2<7<3. Тогда справедливо неравенство:−3,2<−7<−2.То есть корень −7 принадлежит указанному отрезку. Рассмотрим x=7.7∨2,6;7∨6,76.Получаем, что 7>2,6, значит, 7∈[−3,2;2,6].
