Статика и равновесие: Маленькие шарики, имеющие массы и г, соединены друг · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Маленькие шарики, имеющие массы $M$ и ${m=60}$ г, соединены друг с другом стержнем пренебрежимо малой массы. Полученная гантель помещена в неподвижную сферическую выемку радиусом $R$ так, что шарик $M$ находится в нижней точке выемки, а шарик $m$ касается стенки выемки на высоте $R$ от этой точки (см. рисунок). Коэффициент трения между шариком $M$ и дном выемки ${\mu=0,3}$ , трение между шариком $m$ и стенкой выемки отсутствует. При каких значениях $M$ гантель покоится в показанном на рисунке положении? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на гантель. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Рисунок к задаче 4 подборки «Задание 26 — Статика»

Решение

Выполним рисунок с указанием внешних сил, действующих на гантель. Длину гантели обозначим как

l

Запишем систему уравнений, необходимых для решения:

N_1\cdot l\sin\alpha-mg\cdot l\cos\alpha=0 (1)

Ox:\ N_1-F_\text{тр}=0 (2)

Oy:\ N_2-Mg-mg=0 (3)

F_\text{тр}\le\mu N_2 (4)

Решим данную систему:

N_2=(M+m)g

N_1=mg\cdot\operatorname{ctg}\alpha

где

{\operatorname{ctg}\alpha=\operatorname{ctg}45^\circ=1}

, откуда

{N_1=mg}

F_\text{тр}=N_1=mg

mg\le\mu(M+m)g

M\ge m\left(\frac{1}{\mu}-1\right)

Выполним подстановку:

m\left(\frac{1}{\mu}-1\right)= 60\cdot\left(\frac{1}{0,3}-1\right)=140\text{ г}

M\ge140\text{ г}

Обоснование. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей, будем считать эту систему отсчета инерциальной. Гантель с шариками будем считать единым абсолютно твёрдым телом, которое можно заменить на тонкий стержень, пренебрегая размерами шариков. Силы тяжести

M\vec{g}

m\vec{g}

приложены к левому и правому концам этого стержня соответственно. Для стержня используем условие равновесия твёрдого тела относительно вращения — равенство нулю суммы моментов, записанных относительно нижней точки выемки (1). Также применим условия равновесия относительно поступательного движения: (2) и (3). Также запишем условие отсутствия скольжения согласно закону Амонтона — Кулона (4). Ввиду отсутствия трения в верхней точке касания, сила реакции опоры там направлена по нормали к поверхности выемки, что учтено в (1).

Статика и равновесие: Маленькие шарики, имеющие массы и г, соединены друг · ЕГЭ №26

Похожие задачи