Статика и равновесие: Цилиндр массой кг и радиусом см, на который намотана · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Цилиндр массой ${m=1}$ кг и радиусом ${R=20}$ см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на неподвижную наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра (см. рисунок). Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью ${\mu=0,5}$ . При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту $\alpha$ цилиндр находится в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Решение

Выполним схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр. Рисунок к задаче 9 подборки «Задание 26 — Статика»

Запишем систему уравнений, необходимых для решения:

F_\text{тр}\cdot2R-mg\cdot R\sin\alpha=0 (1)

Oy:\ N=mg\cos\alpha (2)

F_\text{тр}=\mu N (3)

Решим данную систему:

F_\text{тр}=\mu mg\cos\alpha

\mu mg\cos\alpha\cdot2R=mg\cdot R\sin\alpha

\operatorname{tg}\alpha=2\mu

\alpha=\operatorname{arctg}(2\mu)=\operatorname{arctg}(2\cdot0,5)=45^\circ

Обоснование. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей, будем считать эту систему отсчета инерциальной. Цилиндр будем считать абсолютно твёрдым телом. Для него используем условие равновесия твёрдого тела относительно вращения — равенство нулю суммы моментов, записанных относительно точки касания нити и цилиндра (1). Также применим условия равновесия относительно поступательного движения (2) в проекции на ось

Oy

. Нить нерастяжимая, поэтому при отсутствии проскальзывания цилиндра относительно плоскости, он остаётся неподвижным (цилиндр не может катиться без проскальзывания). Нить невесома и параллельна плоскости, поэтому касается цилиндра в точке, диаметрально противоположной точке касания цилиндра и наклонной плоскости. Сухое трение описывается законом Амонтона — Кулона (3).

Статика и равновесие: Цилиндр массой кг и радиусом см, на который намотана · ЕГЭ №26

Похожие задачи